Neshodná zobrazení - výukové projekty pomocí Cabri Geometrie
Jiří Vaníček
Kliknutím na každý obrázek v textu spustíte interaktivní Cabri obrázek

Obsah

Úvod

Řada učitelů má zkušenosti, že především žáci průměrní a slabší dobře nerozumí shodnostem; nedokáží správně sestrojit obraz k danému vzoru ve složitějších situacích a v aplikačních úlohách, nechápou shodnost jako zobrazení, což lze otestovat úlohou z osové souměrnosti: a) Je dán obdélník a přímka (osa souměrnosti). Při jaké poloze osy se obdélník zobrazí sám do sebe?

b) Je dán trojúhelník a přímka (osa souměrnosti). Při jaké poloze osy se tento trojúhelník zobrazí sám do sebe? Jaký musí mít tvar (vlastnost), aby byla úloha b) řešitelná?

 Je možné, že tato neznalost je způsobena tím, že žáci nevidí shodnost jako zobrazení jednoho objektu na druhý. Některé nnedostatky v představě pojmu shodného zobrazení mohou být odstraněny seznámením žáků se zobrazeními neshodnými. Všechna zobrazení, která se až do 8. třídy v geometrii na ZŠ probírají, jsou shodná, tedy vzor je shodný s obrazem, což žákovi nevyvrátí případnou nesprávnou představu o shodnosti jako přemístění jednoho objektu. Problematika neshodných zobrazení nepatří do vyučování na ZŠ jen zdánlivě; úzce souvisí se shodnostmi jako jejich významový protipól.

Doposud především technické podmínky na školách neumožňovaly studentům a učitelům věnovat se problematice neshodností dostatečně efektivně. Stejně jako může žák v hotové konstrukci obrazu trojúhelníka ve středové symetrii plynule měnit polohu vzoru či osy a pozorovat jejich vliv na změnu tvaru a polohy obrazu, může také kupř. změnit směr osy v hotové konstrukci obrazu v osové afinitě a pozorovat podobný vliv na změnu tvaru obrazu (a to bez znalosti pojmu osová afinita).

Obarojekty lze chápat jako seznámení s konkrétními neshodnostmi konstruktivním způsobem. Přitom zde nejde o zvládnutí konkrétního neshodného zobrazení, ale o propedeutiku shodnosti i neshodnosti obecně.
 


projekt "tancující domeček"
 
 
 
Po několik let zařazuji jako součást výuky problémovou konstrukční úlohu "tancující domeček". Jedná se o úkol sestrojit v Cabri domeček takový, kterým by se dalo manipulovat a jehož tvar by "zachovával rovnoběžnost". Tato vágní definice by se nejlépe dala vyjádřit tak, že by domeček mohl nabývat jakéhokoliv tvaru obrazu narýsovaného domečku v osové afinitě. Mně šlo spíše o to, jak děti dokáží vytvořit takový obraz bez znalosti osové afinity. Zadání, které dostávaly, bylo doprovázeno ukázkou hotové konstrukce na obrazovce počítače a znělo vesměs tak, že mají sestrojit takový domeček, jehož chování pozorují na obrazovce nebo jaký by mohli vidět, kdyby byl nakreslený na papíře a pozorovaný z různých úhlů pohledu (doplněno o vyvolání zkušenosti, že také kružnice pozorovaná zešikma se jeví jako elipsa apod.). Bylo stanoveno, které tři volné body určující tvar domku při pohybu budou zadáním úlohy.

obr. 1 - Studentský projekt - stopa pohybujícího se domku s vyřešenou transformací půlkruhového vikýře jako části elipsy

Bylo zajímavé pozorovat, jak se děti, většinou začátečníci, kteří zkonstruovali teprve několik pohyblivých konstrukcí, dokáží se zadáním vypořádat. Analýzu některých obecných chyb, kterých se dopouštěly při konstrukci, dokládám v kapitole “Počítač jako diagnostický nástroj učitele”. Pozoroval jsem i studenty pedagogické fakulty, nakolik jim takto se chovající obraz připomíná nebo vybavuje osovou afinitu - velmimálo studentů dokázalo objevit, že by domek šel sestrojit i afinitou.

Pozn. Na obrázcích uvedených na těchto dvou stranách lze srovnat náročnost dvou studentských projektů. Zatímco model zámku obsahuje stovky objektů a konstrukčních prvků, model domku s vikýřem je náročnější, protože požaduje vyřešení transformace nelineárních objektů (zde kruhového oblouku).

obr. 2 - Pohybující se zámek Červená Lhota jako studentský projekt

projekt "cylindrické zrcadlení"