Téma : Cykloidy

Antonín Vrba

Obsah:

cykloida
znázornění valení
prodloužená a zkrácená cykloida
tečna a normála cykloidy
oskulační kružnice cykloidy
evoluta cykloidy
epicykloida a hypocykloida
prodloužená a zkrácená epicykloida a hypocykloida
tečna a normála k epicykloidě a hypocykloidě
evoluta epicykloidy a hypocykloidy
zlomek jako koeficient

 

I. Cykloida

Cykloida je dráha bodu kružnice při jejím valení po přímce. Vytvořte polopřímku (vodorovně zleva doprava, při dolním okraji obrazovky), na ní zvolte bod B, veďte jím kolmici k polopřímce a vytvořte kružnici se středem S na kolmici a procházející bodem B. Valení budeme modelovat tak, že kružnici budeme za bod dotyku posouvat po polopřímce a přitom na ni nanášet vzdálenost bodu B od počátku polopřímky. Změřte tedy vzdálenost bodu B od počátku a získanou hodnotu naneste na kružnici od bodu B, dostanete bod A. Zkuste pohybovat bodem B po polopřímce a pozorujte pohyb bodu A. Shledáte, že se pohybuje v opačném smyslu, než potřebujeme. (To je způsobeno konfigurací polopřímky, kružnice a směru valení, které v našem případě nesouhlasí se směrem nanášení délky na kružnici.) Napravíme to tak, že sestrojíme obraz bodu A v souměrnosti podle osy SB - označte ho C. To už je bod cykloidy. Nyní necháme vykreslit stopu bodu C při pohybu bodu B po polopřímce nebo množinu bodů C řízenou bodem B. (Přímku SB a bod A můžete předtím skrýt.)

Pozorujte, jak se cykloida změní při změně poloměru kružnice.

Na začátek

II. Znázornění valení

Pro názornost simulujte valení kružnice otáčením loukotí kola. Loukoť SC doplňte několika dalšími loukotěmi. Bod C zvýrazněte, pohybujte bodem B a pozorujte, jak se kolo valí a bod C opisuje cykloidu.

Na začátek

III. Prodloužená a zkrácená cykloida

Na úsečku SC položte polopřímku SC a na ní vytvořte bod D. Namísto množiny bodů C nechte vykreslit množinu bodů D - dostanete tak tzv. zkrácenou nebo prodlouženou cykloidu podle toho, leží-li bod D uvnitř nebo vně úsečky SC.

Na začátek

IV. Tečna a normála cykloidy

Tečnu dostaneme z “velmi krátké” tětivy. Nejprve si umístěte na nákresnu vhodné číslo, např.1,5, a přidejte do obrázku cykloidy ještě jednu kružnici, která se odvalila o 1,5 cm dále do bodu B1, i s příslušným bodem cykloidy C1. Spojte body C a C1. Nyní zmenšujte zvolené číslo (1,5) až na velmi malou hodnotu, např. 1 mikron, tj. 0,0001 cm, a pozorujte, jak se přímka CC1 mění v tečnu.

Sestrojte k ní kolmici v bodě C - se zanedbatelnou opticky nerozlišitelnou chybou to bude normála. Měňte polohu bodu B a všimněte si, že normála prochází vždy bodem B a tečna bodem souměrně sdruženým s bodem B podle středu S (“nejvyšší” bod valící se kružnice).

Na začátek

V. Oskulační kružnice cykloidy

Oskulační kružnice křivky v jejím bodě je jeden ze základních pojmů diferenciální geometrie. Jde o kružnici, která má v daném bodě s křivkou “nejlepší dotyk”, což lze přesně vyjádřit analyticky. Názorně si to můžeme představit, jako že střed oskulační kružnice leží v průsečíku dvou “velmi blízkých” normál. Vyjdeme opět od dvou poloh valící se kružnice vzdálených třeba o 1,5 cm. V bodech C, C1 sestrojte normály (jako přímky BC, B1C1) a jejich průsečík označte O.

Zmenšením vzdálenosti BB1 na mikroskopickou velikost přejde bod O ve střed oskulační kružnice cykloidy v bodě C. Sestrojte ji, pohybujte bodem B po polopřímce a sledujte její proměny. Zvolte na polopřímce CO bod X a sestrojte kružnici se středem v bodě X procházející bodem C. Měňte polohu bodu středu X a pozorujte, že ze všech těchto kružnic se opravdu oskulační kružnice opticky nejlépe přimyká k cykloidě.

 

Na začátek

VI. Evoluta cykloidy

Množina středů oskulačních kružnic ve všech bodech křivky je tzv. evoluta křivky. Nechte do obrázku ještě vykreslit množinu bodů O (řízenou bodem B). Zjistíte, že evoluta cykloidy je shodná s původní cykloidou a že je to obálka normál původní cykloidy (normály křivky jsou tečnami její evoluty, jak učí diferenciální geometrie).

Na začátek

VII. Epicykloida a hypocykloida

Nechme nyní valit kružnici místo po přímce po kružnici. Když se valí vně, opisuje bod valící se kružnice epicykloidu, při valení uvnitř hypocykloidu.

Vytvořte kružnici k se středea na ní dva body P. Středy valících se kružnic budou ležet na polopřímce SP a v bodě P se budou dotýkat kružnice k. Vlastnosti epicykloidy a hypocykloidy budou, jak uvidíme, záviset na poměru poloměrů kružnice a valící se kružnice. Bude proto výhodné  , když valící se kružnici sestrojíme tak, abychom tento poměr mohli pak měnit. Vytvořte na nákresně nějaké číslo, třeba 4. Na kalkulátoru vypočtěte jeho převrácenou hodnotu a výsledek (v našem případě 0,25) vytáhněte na nákresnu. Ve stejnolehlosti se středem a s koeficientem rovným vypočtenému výsledku sestrojte obraz bodu S. (Vypočtený výsledek už nebudeme potřebovat a můžete ho skrýt.) Vytvořte kružnici o, která bude mít střed v právě sestrojeném obrazu a bude procházet bodem P. Sestrojte její obraz o’ ve středové souměrnosti podle středu P.

Tyto dvě kružnice o, o’ budeme nyní valit po kružnici k. Zkontrolujte, jestli se spolu s bodem P pohybují po kružnici také kružnice o, o’ a jestli se při změně hodnoty čísla na nákresně změní také příslušným způsobem jejich poloměr. Na kružnici o’ (vnější kružnice) naneste délku oblouku OP. K tomu budete muset nejprve tento oblouk na kružnici vytvořit. Při tom budete muset zadat vnitřní bod V tohoto oblouku. Bod V je ovšem třeba vybrat tak, aby se pořadí i orientace bodů O, V, P na kružnici k zachovávala i při změnách polohy bodu P na kružnici k. Nabízí se bod V definovat jako střed oblouku OP, ať už jako průsečík osy úhlu OVP s kružnicí k nebo třeba jako bod, který by vznikl otočením bodu O kolem středu S o polovinu tohoto úhlu. To bychom se však později dostali do technických problémů při přechodu přes 180°.Abyste dostali vnitřní bod oblouku OP, stačí prostě nanést na kružnici k od bodu O délku úsečky OP – ta bude totiž vždy kratší, než oblouk. Pak už můžete změřit délku oblouku OP a nanést ji na kružnici o’ od bodu P – dostanete tak bod H. Při pohybu bodu P po kružnici k bude pak bod H opisovat hypocykloidu a bod E souměrně s ním sdružený podle společné tečny všech tří kružnic bude opisovat epicykloidu. Obě křivky můžete vykreslit jako stopy nebo jako množiny. Projevuje-li se na křivkách hrbatost způsobená nastavením malého počtu bodů v množině, nastavte větší počet bodů. Doplňte ještě do kružnic o a o’ poloměry procházející body EH, tahejte za bod  P a pozorujte valení kružnic a pohyb bodů EH po křivkách. Tahejte za kružnici k , za střed S a za bod O a pozorujte proměny křivek.

Měňte hodnoty koeficientu, který udává poměr poloměrů kružnic, v oboru přirozených čísel. Budete dostávat hypo- a epicykloidy s jiným počtem cípů:

Všimněme si ještě případů pro koeficienty 2 a 1, které jsou pro hypocykloidu poněkud singulární.

Skutečně, jak se můžete sami přesvědčit, když je poloměr valící se vnitřní kružnice poloviční, pohybuje se bod H po průměru kružnice k, a když jsou poloměry shodné, je bod H stále totožný s bodem O.

Zajímavé křivky dostáváme i pro záporné hodnoty koeficientu:

 

Jejich vznik můžeme sledovat na prvním obrázku, když přepíšeme koeficient na –4 a taháme bod P po kružnici k. Ukáže se, že změna znaménka koeficientu stejnolehlosti způsobila vzájemnou výměnu kružnic o a o’ včetně smyslu jejich otáčení. Stejný výsledek bychom tedy dostali, kdybychom v původním obrázku změnili smysl nanášení délky oblouku, nebo místo bodů EH vzali jejich obrazy v souměrnostech podle spojnic středů kružnic o, resp. o’se středem kružnice k. (Při technické realizaci valení s opravdovými koly bychom změnu smyslu otáčení mohli vyřešit vřazením miniaturních koleček mezi kola o, o’.)

Vykreslete křivky, které vzniknou z cykloidy , prodloužené a zkrácené cykloidy změnou smyslu otáčení kružnice valené po přímce.

Na začátek

 

VIII. Prodloužená a zkrácená epicykloida a hypocykloida

Podobně jako u cykloidy můžeme i při valení po kružnici prodloužit nebo zkrátit vzdálenost bodu opisujícího křivku od středu valené kružnice. Překreslíme trochu náš původní obrázek:

Na vyznačené poloměry kružnic o a  o’umístěte polopřímky s počátky ve středech. Na tyto polopřímky umístěte body E’ a H’. Místo, abyste kreslili stopu (množinu) bodů EH, pracujte s body E’, H’.

 

Na začátek

 

IX. Tečna a normála k epicykloidě a hypocykloidě

Podobně jako u cykloidy sestrojíme tečnu jako spojnici dvou nepatrně vzdálených bodů křivky. Vzdálenost těchto dvou bodů budeme řídit editováním vhodného čísla. Vzhledem ke kruhovému charakteru epi- a hypocykloidy bude výhodné zapojit do akce otáčení kolem středu S kružnice k.

Vraťte se k původnímu obrázku epi- a hypocykloidy. Na nákresnu umístěte číslo, např. 20° (označení stupňové míry dostanete pomocí CTRL+U, ale není to nutné). Bod P, kružnice o a o’ i s body E, H otočte kolem středu S o 20°. Obrazy označte P1, o1, o1’, E1, H1. Nyní bychom mohli zopakovat pro bod P1celou konstrukci bodů EH, jak jsme ji prováděli pro bod P. Místo pracného měření a nanášení délek oblouků si však stačí uvědomit, že úhlová rychlost otáčení bodů EH na kružnicích oo’ je ve srovnání s úhlovou rychlostí bodu P na kružnici k tolikrát větší, kolik činí poměr poloměrů (v našem případě čtyřikrát). Stačí tedy body E1, H1 ještě pootočit o 4 . 20°, abychom dostali jejich polohy příslušné bodu P1.Vynásobte tedy na kalkulátoru dvě čísla, která máte na nákresně (4 a 20°) a výsledek (80°) vytáhněte na nákresnu. Otočte bod E1 o výslednou hodnotu (o 80°) a bod H1 o zápornou hodnotu (o –80°) Dostanete tak body E2, H2 ležící na epicykloidě, resp. hypocykloidě. Jednodušší však bude odvodit bod H2 z bodu E2 stejně, jako jsme sestrojili bod H z bodu E. Vytvořte přímky EE2, HH2

Posledním krokem bude zmenšení čísla 20° na nepatrnou hodnotu, řekněme na 0,001°- pak body EE2HH2 prakticky splynou a přímky EE2, HH2 budeme moci považovat za tečny epi- a hypocykloidy v bodech E a H.

Tahejte bodem P po kružnici k, pozorujte tečny a normály. Všimněte si, že obě normály stále procházejí bodem P a tečna k hypocykloidě (resp. epicykloidě) bodem kružnice o (resp. o’) diametrálně položeným k bodu P. Tyto vlastnosti tečny a normály jsou analogické k tomu, co jsme zjistili u cykloidy.

Měňte koeficient 4 v oboru přirozených čísel a všimněte si, že i tečny epicykloid a hypocykloid s jinými parametry mají tuto vlastnost.

Na začátek

 

X. Evoluta epicykloidy a hypocykloidy

Budeme postupovat podobně jako u cykloidy. Vyjdeme opět od obrázku, kterým jsme si připravili konstrukci tečen. Na něm již máme sestrojeny dva body epicykloidy (hypocykloidy) odpovídající dvěma polohám bodu P. V těchto dvou bodech křivky sestrojte normály (jak jste právě zjistili, procházejí příslušným bodem P) Průsečík normál označte N.

 

 

Zmenšete zvolený úhel na nepatrnou hodnotu. Bod N bude pak ležet na evolutě křivky. Evolutu pak nechte vykreslit jako množinu bodů N vytvořenou pohybem bodu P po kružnici k.

Zjistíte, že evolutou čtyřcípé epicykloidy (hypocykloidy) je opět čtyřcípá epicykloida (hypocykloida) téhož typu pootočená o 45° kolem středu S a pak zmenšená (zvětšená) ve stejnolehlosti se středem S a koeficientem 2/3  (2).

Když změníte koeficient 4 na jiné přirozené číslo n, dostanete evolutu n-cípé epi- a hypocykloidy a zjistíte, že je to vždy opět n-cípá epicykloida (hypocykloida) pootočená o p /2n a zmenšená (zvětšená) s koeficientem podobnosti k/(k+2) ( k/(k-2) ).

I zde je výsledek analogický k tomu, co jsme zjistili u cykloidy.

Na začátek

XI. Zlomek jako koeficient

Zatím jsme se stále zabývali případy, kdy poměr poloměrů kružnic k a o byl celočíselný. Co se stane, když to nebude celé číslo, např. 9/2 ? Když v našem obrázku změníme koeficient 4 na 4,5, vykreslí se následující množina bodů:

 

Tuto množinu proběhly body EH, když bod P objel kružnici k. Kdyby tento pohyb pokračoval souvisle dál, zřejmě bychom po druhém oběhu dostali obrázek, jehož hypocykloidní část by připomínala hvězdicový mnohoúhelník typu 9/2 se zakřivenými stranami. Jenže, jak se můžeme při ručním (nebo pružinovém) pohybu přesvědčit, pohyb v našem obrázku po prvním oběhu nepokračuje tak, jak by pokračoval při pohybu skutečných kol. Při druhém oběhu se totiž zreprodukuje první oběh a poruší se návaznost. Hlavní příčinou je to, že jsme všechno odvodili z délky oblouku OP, který nemůže být delší, než kružnice, a po ukončení prvního oběhu skočí jeho délka opět na nulu. Další potíž spočívá v tom, že kreslení množiny je řízeno pohybem bodu po kružnici, a tato akce předpokládá jediný oběh.

Pozměníme trochu naši konstrukci, abychom dokázali vykreslovat i množiny odpovídající zlomkům č/j. Podobně jako u pravidelných mnohoúhelníků typu č/j se křivka uzavře, jakmile valící se kružnice objede j-krát kružnici k, a bude mít č cípů. (Předpokládáme, že čísla č a j jsou nesoudělná.) Potřebujeme tedy, aby valené kružnice objížděly kružnici k j-krát rychleji, než bod P.

Vytvořte kružnici k a na ní body O a P. Umístěte na nákresnu dvě přirozená čísla č j. Stejně jako v odst. VII vytvořte a změřte oblouk OP. Naměřenou délku vynásobte na kalkulátoru číslem j, výsledek vytáhněte na nákresnu a naneste ho na kružnici k od bodu O. V bodě Q, který tak vznikl, sestrojte dvojici kružnic a o’ s poloměrem č/j - krát menším, než má kružnice k (postupujte stejně jako v odst. VII). Na (vnější) kružnici o’ naneste od bodu Q stejnou vzdálenost, jako jste nanášeli na kružnici k. Dostanete tak bod H a jeho obraz v osové souměrnosti podle společné tečny všech tří kružnic (padne na kružnici o) označte E. Teď už stačí vykreslit množiny bodů EH řízené pohybem bodu P po kružnici k.

Měňte čísla č a j a vytvářejte množiny bodů E a H.

Proč se hypocykloidní křivky typu 5/2 a 5/3 shodují a epicykloidní liší?

Na začátek