Jestliže lze za hybný motor školských změn v České republice v uplynulých deseti letech považovat liberalizaci školství, v letech následujících očekáváme, že základním viditelným rysem školské reformy bude nástup technologií. Tím budou specifické (postkomunistické) problémy našeho školství nahrazeny problémy charakteristickými pro školství většiny vyspělých zemí. Máme tedy vzhledem k časovému skluzu v zavádění nových technologií do výuky kupř. oproti zemím EU kde čerpat inspiraci, zkušenosti, srovnání.

obr. 1 - cylindrické zrcadlení, zde jako muzejní exponát

Je zbytečné diskutovat o tom, zda je potřebné technologie do škol zavádět, chceme-li, aby se výuka alespoň trochu přiblížila skutečnému životu - viz razantní nástup technologií ve společnosti (komunikace, informace, zábava) i v ekonomice (finančnictví, manažering, státní správa) v 90. letech. Do učebního plánu našich škol nelze přidávat další vyučovací předmět, zabývající se technologiemi souhrnně, protože zde koneckonců není záruka, že by nedošlo k odtržení technologií od jejich obsahu, tak jak se to stalo u výuky počítačů (předmět informatika - výpočetní technika vzal častokrát počítač jako cíl, nikoliv jako prostředek výuky). Zdá se, že rozumnější, i když pro učitele náročnější cestou je uzpůsobení výuky v tradičních vyučovacích předmětech tak, aby v nich žáci mohli technologie kvalitně a smysluplně používat. Tato cesta se prosadila v západních zemích a hovoří pro ni též kladný světonázorový a výchovný dopad na žáky.

Kladný vliv nových didaktických technologií na kvalitu vzdělávání je znám a obecně přijímán v řadě aspektů pedagogických i psychologických (např. zpětná vazba, nepřítomnost ohrožení, podnětné prostředí, vizualizace, konstruktivismus, žádoucí změna role učitele iforem hodnocení práce žáka, učení se spolupráci a komunikaci v týmu, …). používání technologií má také nezanedbatelný dopad kurikulární. Pro předpokládané používání informačních, komunikačních a didaktických technologií můžeme očekávat např. změnu školských osnov. Vezmeme-li v úvahu třeba jen školskou matematiku, uvažme analogickou situaci s nástupem technologií do výuky na příkladu starém dvacet let, kdy byly do našich škol zaváděny kalkulátory. Během krátké doby (a navzdory názorům mnoha zasloužilých a výtečných učitelů matematiky, kteří pouze neodhadli dosah příštích změn) se vyučování matematiky v řadě témat změnilo, výuka se orientovala více na "trénink myšlení" než na praktické výpočty. Nebylo tomu však všude a záleželo především na konkrétním učiteli, jak rychle se tento trend prosadil.

Počítače umožňují kvalitativně nové vyučování geometrie. S nástroji, jako jsou programy interaktivní geometrie (Cabri Geometry, Geometer's Sketchpad, Geometry Inventor, Cinderella, Geonet, Geom apod.), lze dětem ukázat na obrazovce počítače to, co není možno narýsovat, spatřit v učebnici či popsat slovy - přesně, rychle, názorně, dynamicky. Získané velké množství separovaných mentálních modelů pozorovaného jevu v krátkém čase umožňuje studentům rychleji si vytvořit univerzální model a dále jej krystalizovat. Uvolněním aktuální paměťové kapacity se student může více soustředit na vlastní mentální operace (komparace, abstrakce, indukce, analýza a syntéza), není zatěžován nutností situaci si představit, není rozptylován technickými problémy vlastního rýsování na papír.

Počítač může pomoci především v takových partiích matematiky, kde je pro porozumění problematice potřeba vytvořit správnou představu daného pojmu. Příkladem, kterým se budu zabývat v tomto článku, je pojem shodnost, shodné zobrazení. Řada učitelů má zkušenosti, že především žáci průměrní a slabší shodnostem dobře nerozumí, nedokáží správně sestrojit obraz k danému vzoru ve složitějších situacích, nevidí shodnost jako zobrazení.

Problematiku lze demonstrovat na úloze z osové souměrnosti:

obr. 2 - žákovský projekt v cylindrickém zrcadlení

Tyto nedostatky v představě pojmu shodného zobrazení mohou být odstraněny seznámením žáků se zobrazeními neshodnými. Všechna zobrazení, která se až do 8. třídy v geometrii na ZŠ probírají, jsou shodná, tedy vzor je shodný s obrazem, což žákovi nevyvrátí případnou nesprávnou představu o shodnosti jako přemístění jednoho objektu.  Doposud především technické podmínky na školách neumožňovaly dostatečně efektivně se problematice neshodností věnovat; s novými technologiemi je to podstatně snadnější. Stejně jako může žák v hotové konstrukci obrazu trojúhelníka ve středové symetrii plynule měnit polohu vzoru či osy a pozorovat jejich vliv na změnu tvaru a polohy obrazu, může také kupř. změnit směr osy v hotové konstrukci obrazu v osové afinitě a pozorovat podobný vliv na změnu tvaru obrazu (a to bez znalosti pojmu osová afinita). Problémem osové afinity, která sice velice pěkně ukazuje neshodnost vzoru a obrazu, je její reálná obtížná dosažitelnost. Běžný žák, pomineme-li projekci, málokdy může v životě mimo školu afinitu vidět a identifikovat. Hledal jsem tedy neshodné zobrazení, které by bylo více "ze života". Takovým použitelným zobrazením by mohlo být cylindrické zrcadlení, zobrazení známé z fyziky z jevu zvaného odraz světla ve válcovém zrcadle.

Matematický model kolmého průmětu tohoto zobrazení do roviny kolmé k ose válcového zrcadla lze sestrojit v programu dynamické geometrie na obrazovce počítače (obr. 2). Průmět tohoto zrcadla do roviny je představován kružnicí k, na níž zrcadlo stojí, směr, ze kterého situaci sleduje pozorovatel (tedy směr odražených paprsků), polopřímkou p. Vzor (obrázek nakreslený na papíře, na němž zrcadlo stojí) je objekt O, jeho obraz O'. Vyjádřeno analyticky je takové cylindrické zrcadlení dáno rovnicemi x' = k . x, y' = k . y, kde koeficient 
x, y jsou souřadnice předmětu, x’, y’ jsou souřadnice obrazu v zrcadle, kružnice kmá střed v počátku soustavy souřadné a obraz pozorujeme ze směru záporné osy y.

K získání vhledu do situace žákovi postačí názorný pokus. Učitel si připraví válcové zrcadlo (většinou postačí zrcadlová samolepící tapeta na PET láhvi, izolační vložka do termosky apod. - obr. 3) a vytiskne na papír obrázek tohoto zobrazení, v němž poloměr kružnice k přesně odpovídá poloměru podstavy vyrobeného válcového zrcadla.  obr. 3 - fotografie studentského projektu

Umístí-li žák zrcadlo na papír, vidí obraz v zrcadle přesně v tomtéž místě, v němž je "sestrojen" počítačem. Tato zkušenost žákovi postačí k vytvoření představy o tom, aby se mohl pokusit sám na počítači s cylindrickým zobrazením experimentovat. Žák může měnit tvar předmětu a pozorovat obraz, může se pokusit sám sestrojit takové zobrazení bodu za pomoci učitele, může následovat vlastní kreativita dětí při vytváření vlastního vzoru. (obr. 2, 4)     obr. 4 (vpravo) - otáčením "obrazu" v inverzním zrcadlení se plynule mění "vzor".

 

Program Cabri Geometry má pro tyto aktivity šikovné nástroje (množiny objektů, makrokonstrukce), které umožní zobrazit v tomto zrcadlení i poměrně složité obrázky. Krásnou aktivitou je předpovídání obrazu - žák vytvoří inverzní zobrazení, takže může zadat počítači, jak má vypadat obraz v zrcadle, a počítač vytiskne papírovou “předlohu”. Dítěti obeznámenému s konstrukcí zobrazení může učitel dávat vytištěné předlohy a nechat jej uhodnout, co je obrazem v zrcadle (obr. 5).     Obr. 5 (vlevo) - Která kuželosečka je vzorem v cylindrickém zrcadlení pro křivku na obrázku?

Z pozorování dvanáctiletých dětí při práci v tomto projektu můžeme konstatovat, že pomocí výše uvedeného software a metodického postupu žáci porozuměli pojmu neshodné zobrazení a dokázali sledovat a prakticky provádět výše popsané činnosti. Z našich dalších zkušeností vyplývá, že více problémů než žáci mívají s přípravou a provedením takového netradičního projektu spíše učitelé. Snažíme se proto dnes připravovat na pedagogické fakultě budoucí učitele matematiky na výuku podporovanou počítači, aby byli připraveni na nepříliš vzdálenou budoucnost, kdy zařadit takovýto tematický celek do výuky bude pouze otázkou učitelova rozhodnutí.

Literatura:

1. Gremillion, D., Keyton, M.: Cabri Geometry II - Guidebook for Macintosh, Texas Instruments 1994
2. Hansén, S.: Preparing students for curriculum-making, in: Journal of curriculum studies, 1998, vol. 30, No 2, str. 165-179
3. Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2, Slovenské pedagogické nakladateľstvo 1990
4. Kovaliková, S.: Integrovaná tematická výuka - model, Spirála Kroměříž 1995
5. Schumann, H.: Schulgeometrisches Konstruieren mit dem Computer, J. B. Metzler Stuttgart 1991
6. Vaníček, J.: Alenka v říši divů a za zrcadlem aneb osová souměrnost trochu jinak, In: Matematika, fyzika, informatika, 2/1990
7. Vaníček, J.: Počítač jako nositel nových trendů ve výuce matematiky, In: Matematika, fyzika, informatika 6/1999
8. Vrba, A.: Geometrie na počítači, učebnice ke kurzu TTT Europe, 1999