Připomeňme, doplňme a zobecněme, co jsme již probrali v učebnici:

Nástroj Množina objektů z nabídky C1 užíváme v situaci, kdy bod B leží na objektu R a jeho poloha na něm ovlivňuje jiný objekt O. Klepneme-li na objekt O a pak na bod B, vykreslí se množina objektů O, která připomíná stopu, jakou by zanechával objekt O, kdybychom bodem B pohybovali po objektu R. Zatímco pro typ objektu O je výběr omezen pouze na bod, úsečku, vektor, přímku, polopřímku a kružnici, objekt R může být libovolný geometrický objekt (samozřejmě s výjimkou bodu), dokonce to může být i (dříve vytvořená) množina bodů.

Vyzkoušejte: Vytvořte kružnici a úsečku s jedním krajním bodem na této kružnici.

Kružnice zde bude objektem R a krajní bod úsečky ležící na kružnici bude bodem B.

Za objekt O můžete vzít úsečku, nebo některý její bod, nebo její osu, nebo třeba některou kružnici se středem na úsečce.

Jako objekt R dále vezměte množinu bodů vytvořenou ve druhém případě, umístěte na ni bod B’ a vytvořte kružnici se středem v tomto bodě (jako objekt O). Když nyní místo na bod B klepnete při volbě druhého parametru na bod B’, nástroj opět funguje.

Množinu bodů ani objektů jiného typu však nelze zvolit jako objekt O, vůbec se při zadávání prvního parametru nehlásí a nenabízí.

Nastavením velkého počtu objektů lze vylepšit grafickou kvalitu výsledku. Nutno však mít na paměti, že příliš velký počet objektů zpomaluje vykreslování množiny a její překreslování při další práci s obrázkem. V učebnici jsme si také ukázali, jak lze kvalitu vylepšit i tak, že zmenšíme objekt R, aby pokud možno neobsahoval “neproduktivní” body B.

Vykreslené objekty množiny odpovídají jednotlivým polohám bodu B na objektu R. Rozmístění nastaveného počtu bodů B na objektu R provádí program automaticky a nemůžeme je přímo ovlivnit. Když však pochopíme, jak to funguje, můžeme toho využívat. Pokusme se tedy pravidla, podle nichž program body rozmísťuje, experimentálně zjistit.

Vyzkoušejte: Na kartě Nastavit / Nastavit prostředí / Množiny nastavte počet objektů na 20, vypněte spojování a obálku. Vytvořte úsečku u a na ní bod B. Množinu bodů B řízenou pohybem téhož bodu B po úsečce u sice nelze vykreslit, ale snadno si pomůžeme. Vytvořte ještě (krátký a zhruba kolmý) vektor a o tento vektor posuňte (C2 / Posunutí) úsečku u i bod B – dostanete tak úsečku u’ a bod B’. Když nyní vytvoříte množinu bodů B’ vytvářenou pohybem bodu B po úsečce u, bude tato množina bodů na úsečce u’ věrně kopírovat rozložení bodů B na úsečce u. Zjistíte tak, že na úsečce jsou body B programem umístěny rovnoměrně. Ke stejnému výsledku dojdete, když místo úsečky analogicky prozkoumáte trojúhelník, mnohoúhelník a kružnici.

Vyzkoušejte: Vytvořte přímku p a na ní bod  B. Posunutím o malý vektor zhruba kolmý k přímce p dostanete přímku p’ a bod B’. Nechte vykreslit množinu bodů B’ řízenou pohybem bodu B po přímce p. (Ponechte při tom nastavení tak, jak jste je upravili v minulém experimentu.) Zjistíte, že 20 bodů program rozmístil rovnoměrně v jistém intervalu. Pokud se vám nevešly všechny na obrazovku, můžete po nákresně posouvat okno (jezdci na okraji okna nebo táhnutím myší se stisknutou klávesou CTRL) nebo přímku p (táhnutím za její “počáteční bod”) i s množinou. Také si můžete prohlédnout celou nákresnu pomocí Soubory / Umístit obrazovku. Bez ohledu na původní umístění bodu B bude množina vždy souměrná podle “počátečního bodu” přímky. Změřte délku množiny. K tomu budete muset nejprve umístit dva body na okraje množiny a pak změřit jejich vzdálenost. Poněkud překvapivou zkušenost uděláte, když budete přímku p a tím i množinu natáčet: délka množiny se bude měnit, největší bude u vodorovné a svislé polohy (cca 17 cm), nejmenší při sklonu 45° (cca 12 cm). Dalšího překvapení se dočkáte, když pokus zopakujete s jinak nastaveným počtem objektů – délka množiny na něm závisí.

Vyzkoušejte: Proveďte analogický experiment s polopřímkou. Shledáte, že se na ní body vytvářející množiny rozmísťují stejně jako u přímky s jediným pochopitelným rozdílem: U přímky je množina souměrná podle jejího “počátečního bodu”, u polopřímky vždy krajní bod množiny souhlasí s počátkem polopřímky.

Vyzkoušejte: Proveďte analogický experiment s hyperbolou. Shledáte, že podobně jako u elipsy se v tomto případě body množiny zhušťují k vrcholům.

Nejprve si připomeňme druhou část příkladu z učebnice. Vyšli jsme od úsečky AB, vytvořili kružnici k se středem v bodě A a zvolili na ní bod R. Vytvořili jsme přímku AR, bodem B k ní vedli kolmici a patu označili C. Aktivovali jsme Množinu objektů, klepli na bod C (objekt, jejichž množinu vytváříme) a pak na bod R (bod řídící pohyb). Vykreslila se Thaletova kružnice.

(1) Postupujte stejně jako ve výše uvedeném příkladě, množinu však ještě nevytvářejte. Do obrázku doplňte kružnici k’ se středem v bodě A a s poloměrem skoro stejným, jako má kružnice k, a její průsečík s polopřímkou AR označte R’. Nastavte počet objektů na 20 a vypněte spojování bodů. Nejprve sestrojte množinu bodů R’ generovanou bodem R (bude to 20 bodů na kružnici k’, které ukazují rozmístění řídících bodů na kružnici k). Dále sestrojte množinu bodů C jako ve výše uvedeném příkladu - mělo by to být 20 bodů Thaletovy kružnice, ale ukáže se, že je jich jen 10. Vysvětlí se to, když bodem R pomalu postupujete po kružnici - zjistíte, že každý z těchto deseti bodů odpovídá dvěma bodům na kružnici k’ (vlastně dvěma polohám řídícího bodu na kružnici k). Změníte-li počet bodů na 19, smažete obě množiny a postup zopakujete, dostanete na kružnici k’ i na Thaletově kružnici po 19 bodech - na Thaletově kružnici už nebudou dvojmo. V nastavení teď zapněte spojování bodů a dokreslete do obrázku novou množinu bodů R’ a novou množinu bodů C. První množina bude pravidelný konvexní 19-úhelník, druhá pravidelný hvězdicový 19-úhelník typu 19/2. Když bodem R’ (prostřednictvím bodu R) budete obcházet vrcholy 19-úhelníka a sledovat, v jakém pořadí jsou na Thaletově kružnici příslušné body C, pochopíte, proč tomu tak je.

(2) Vytvořte (velkou) kružnici k, uvnitř ní úsečku AB (excentricky umístěnou), na kružnici k zvolte bod R, vytvořte přímku AR, bodem B k ní veďte kolmici a její patu nazvěte C. Otáčení přímky AC kolem bodu C zprostředkuje nyní opět bod R obíhající pomocnou kružnici k, která má nyní jinou polohu než v předcházejícím experimentu. Sestrojte si ještě opět “kontrolní” kružnici k’ soustřednou s k s málo odlišným poloměrem a její průsečík s polopřímkou AR nazvěte R’. Nechte vykreslit množinu 19 bodů R’, která je “kopií” poloh bodu R řídícího pohyb, a množinu bodů C, nejprve nespojených a pak spojených. Díky excentrickému umístění úsečky AB dostaneme nečekaný výsledek - místo Thaletovy kružnice uzavřenou lomenou čáru, která sama sebe několikrát nepravidelně protíná. Vysvětlí se to, když budete postupně procházet jednotlivé polohy bodu R (R’) a sledovat pořadí odpoví dajících bodů C na Thaletově kružnici.

(3) Vytvořte úsečku AB a sestrojte s ní rovnoběžnou přímku r. Na přímce r zvolte bod R, vytvořte přímku AR, bodem B k ní veďte kolmici a její patu nazvěte C. Otáčení přímky AC kolem bodu C zařídíme teď jiným způsobem, než ve výše uvedeném experimentu - zprostředkuje je pohyb bodu R po přímce r. Bod C při něm opíše Thaletovu kružnici nad průměrem AB. Nechte nastavených 19 objektů a vypněte spojování bodů. Sestrojte ještě “kontrolní” přímku r’ rovnoběžnou s r hned vedle ní. Nechte vykreslit množinu bodů R řízenou pohybem bodu R po přímce r a pak množinu bodů C. První množina je tvořena 19 body rovnoměrně rozmístěnými - ovšem nikoliv na nekonečné přímce r’, ale na úsečce, která leží v přímce r’ a jejíž délku jsme zjišťovali na začátku tohoto tématu. Promítnutím těchto 19 bodů z bodu A na Thaletovu kružnici dostaneme množinu bodů C - pochopitelně na ní nebudou rozmístěny pravidelně. Zapněte nyní spojování bodů a přikreslete obě množiny do obrázku. Zjistíte, že spojnice je zobrazena jako lomená čára, která není uzavřená, což připomínají šipky na jejích “koncích”.

Tyto experimenty odhalily pravidla, podle kterých se vykreslují množiny bodů a jejich spojnice. Jejich znalost pomáhá při konstrukci množin bodů ovlivňovat grafickou kvalitu výsledku.

Závěrem si ještě všimněme, že množiny nejsou plnohodnotnými objekty, jako třeba přímky nebo kuželosečky, které vznikly pomocí jiných nástrojů. Jsou to jakési poloobjekty. Projevuje se to v tom, že možnosti, co s vykreslenými objekty lze dělat dál, jsou velmi omezené. Samozřejmě je můžeme pozorovat, zejména jejich proměny při modifikacích počátečních podmínek konstrukce, což je velmi účinný prostředek a v něm také spočívá hlavní jejich význam. Na množinu bodů lze umisťovat body, ale už nelze sestrojit průsečík množiny s jiným objektem. A to je vše. Na množinu jiných objektů ani na obálku dokonce nelze ani umísťovat body. Množina nemůže být ani vzorem v zobrazení. Abychom získali obraz množiny, musíme nejprve zobrazit jednotlivý objekt, z nichž se množina skládá, a pak teprve nechat vykreslit množinu těchto obrazů.

Na začátek