Ve druhé polovině osmdesátých let, jakmile počítače začaly kromě čísel a textů produkovat i grafiku, vznikaly na programátorských katedrách vysokých škol zprvu diplomové, později už jen seminární práce s tematikou geometricky orientovaných grafických editorů. Je to přirozená myšlenka a vděčné téma: umožnit uživateli vytvářet na obrazovce, editovat a pak tisknout na papír přímky, kružnice, křivky a celé dokonale provedené obrázky s geometrickými konstrukcemi místo jejich pracného ručního rýsování. Pro potřebu konstruktérů profesionální týmy vyvinuly specializované CAD systémy a my máme i různé programy určené k podpoře výuky geometrie. Popíšeme zde funkci a možnosti využití několika geometrických programů. Soustředíme se přitom na univerzální planimetrické programy s dynamickými vlastnostmi (brzy se vyjasní, co tím míníme) a z nich jen na ty, které komunikují česky a čeští učitelé matematiky a přátelé geometrie je mohou získat. Přehled funkcí těchto programů, který uvedeme, snad přispěje k orientaci našich čtenářů v problematice. Autorům článků s touto tematikou, které do redakce začínají docházet, tím ušetříme práci s opakovaným popisem základních principů a budou moci přistoupit přímo ke geometrickým a didaktickým aplikacím.

Podle všeho prvním významným počinem byl program Cabri géometre (CAhier de BRouillon Informatisé) oficiálně představený učitelstvu matematiky na 6. kongresu ICME v Budapešti r. 1988. Vytvořil ho kolektiv vedený Jean-Marie Labordem z Univerzity Josepha Fouriera v Grenoble. R. 1990 se objevil podobný, trochu mocnější americký program Geometer’s Sketchpad (Nicholas Jackiw). Oba programy se v technicky vyspělých zemích rychle rozšířily a množství časopiseckých článků, příspěvků na klasických i v elektronických konferencích

a metodických materiálů jak oživit výuku těch či oněch kapitol geometrie svědčí o jejich pokroku v programovacích technikách i ve výkonnosti počítačů (a zřejmě i finančního zázemí daného obchodním úspěchem Cabri) a několikaletá usilovná práce přinesla r. 1995 zcela nově koncipovanou Cabri géometre II, která znamenala ohromný skok kupředu. Dnešní verze konkurenčního Geometer’s Sketchpadu již také pochopitelně dosahuje srovnatelné kvality. Oba programy dnes představují v daném oboru špičkový standard. Další technický vývoj v obou týmech se orientuje na zajištění  internetového provozu výukových celků založených na uvedených programech. Cabri i Sketchpad představovaly v různých fázích svého vývoje také výzvu dalším pracovištím, kde vznikaly podobné programy, často s poněkud modifikovanými funkcemi.
 
 

Kontakty J.-M. Laborda s Matematickým ústavem AV a s katedrou matematiky pedagogické fakulty UK v Praze umožnily počátkem 90. let počeštit starší verzi Cabri. Byla pak užívána na pedagogických fakultách v Praze, v Hradci Králové a v Českých Budějovicích a v souvislosti s diplomovými pracemi studentů i na několika školách. Komerční distributor programu se však u nás nenašel a naše instituce ani nedojednaly výhodnou multilicenci. Uvedení Cabri II pak odsunulo starou verzi mezi počítačové starožitnosti, i když toho uměla víc, než některé pozdější nápodoby. Brzy bylo počeštěno

i Cabri II (ve verzi pro Windows). V současné době má distribuční práva společnost Texas Instruments, která Cabri II implementovala i do nových modelů svých grafických kalkulaček TI-92 a TI-89. Kurzy Cabri II byly začleněny i do mezinárodního projektu Teachers Teaching with Technology orientovaného na další vzdělávání učitelů v používání informačních technologií, který běží i u nás.

Program umožňuje vytvářet na obrazovce základní geometrické objekty, a to body, přímky, polopřímky, úsečky, vektory, kružnice, kruhové oblouky a kuželosečky. Tak např. kružnici vytvoříme tak, že aktivujeme nástroj kružnice, kurzor přesuneme myší na místo, kde má být střed, klepneme, tahem myši nastavíme “velikost” kružnice a odklepneme. Každý základní objekt je vlastně určen několika body, třeba vektor počátečním a koncovým bodem nebo kuželosečka pěti body. Přitom objekty lze přetahovat po nákresně: střed kružnice můžeme uchopit a tahem myši přesunout s celou kružnicí, jeden z bodů určujících kuželosečku můžeme přetáhnout jinam a tím změnit její tvar a třeba i typ apod. To je už první projev dynamičnosti systému. Body zde mají tři stupně volnosti podle toho, jak byly vytvořeny: možnost neomezeného pohybu po celé nákresně, pohyb po objektu (např. bod se pohybuje po kružnici) a průsečíky objektů se pohybují jen v důsledku pohybu těch objektů (např. bod zavedený jako průsečík dvou přímek zůstává stále jejich průsečíkem).

K dispozici jsou dále základní konstrukce: kolmice, rovnoběžka, střed a osa úsečky (dvojice bodů), osa úhlu, součet vektorů, kružnice určená středem a poloměrem – danou úsečkou. Tak máme-li v nákresně přímku a chceme-li s ní vést určitým bodem rovnoběžku, aktivujeme nástroj rovnoběžka, klepneme na přímku, klepneme na bod a objeví se kýžená rovnoběžka.

Představme si, že jsme provedli konstrukci složenou z několika základních kroků.

Pohybujeme-li pak objekty, které mají volnost neomezenou nebo alespoň po určitém objektu, indukuje to pohyb objektů od nich odvozených, celá konstrukce se překresluje a příslušné vztahy objektů zůstávají zachovány: sestrojili-li jsme přímku r jako rovnoběžku s přímkou p, zůstávají i při deformaci obrázku přímky p, r stále rovnoběžné. To je další dynamická vlastnost programu.

obr.1
Obrazovka Cabri II. Tlačítka pod standardními nabídkami na horním okraji rozvinují nabídky s nástroji. Situace při kreslení druhé kolmice. Rozsvícená ikona na panelu nástrojů i nápis v levém dolním rohu signalizují, že je právě v akci nástroj kolmice. Kurzor je v blízkosti strany trojúhelníka, kterou nabízí nápisem. Ve spodní části obrazovky je zobrazena nápověda.

 
Příklad. Přesvědčíme se, že výšky v trojúhelníku procházejí společným bodem.

Z nabídky zvolíme nástroj trojúhelník, klepneme na tři místa nákresny, kam si přejeme umístit vrcholy, a vykreslí se trojúhelník. Nejsme-li spokojeni s jeho polohou nebo tvarem, můžeme vrcholy přetáhnout jinam nebo uchopit celý trojúhelník a přesunout ho jinam. Zvolíme nástroj kolmice, kurzor přesuneme k jednomu z vrcholů (nabídne se textem tímto bodem), klepneme, kurzor přesuneme k protější straně trojúhelníka (nabídne se textem kolmo na tuto stranu trojúhelníka), klepneme a zjeví se kolmice. To zopakujeme i pro ostatní vrcholy (obr. 1). Všechny tři kolmice procházejí společným bodem. Budou kolmé ke stranám a budou procházet společným bodem, i když budeme tahat za vrcholy a trojúhelník deformovat (obr. 2) Můžeme při tom pozorovat, kam padne průsečík výšek pro ostroúhlý trojúhelník, pro tupoúhlý trojúhelník apod.

obr. 2
Táhneme-li za vrchol, celá konstrukce se překresluje.

Příklad. Jsou dány dva body A, B a přímka p. Určete množinu ortocenter trojúhelníků ABC, kde vrchol C leží na přímce p.

Můžeme využít obrázku, který jsme sestrojili v předcházejícím příkladě. Vrcholy trojúhelníka nazveme pro pořádek A, B, C (program to umožňuje, podobně jako nabízí různé grafické styly: sílu čar, barvy objektů apod.) a vytvoříme přímku p. Do průsečíku výšek umístíme bod V. Můžeme teď pohybovat bodem C podél přímky p a pozorovat chování bodu V. Abychom si ušetřili starost s vedením bodu po přímce, změníme stupeň volnosti bodu C. To umožňuje nástroj předefinovat objekt. Aktivujeme ho, klepneme na bod C, z předložené nabídky možností vybereme bod na objektu, klepneme na příslušný objekt, tj. na přímku p a od této chvíle se bod C bude moci pohybovat jen po přímce p. Naším úkolem je vlastně určit dráhu, kterou při tom projede bod V. K tomu označíme bod V pro zanechávání stopy a táhneme pak bod C po přímce p. Poloha bodu V se v pravidelných časových intervalech otiskuje na nákresnu (obr. 3). Pohyb můžeme přitom zautomatizovat “pružinovým pohonem”, který nasadíme na bod C. Stopa bodu V dává dobrou představu o průběhu zkoumané křivky, není však zapojena do dynamiky konstrukce. Při pohybu bodů A, B nebo přímky p zůstane beze změny nebo dokonce zmizí. Daleko lepšího výsledku dosáhneme nástrojem množina objektů. Stačí pak postupně klepnout na body V a C a vykreslí se souvislá křivka (obr.4).

obr.3 Stopa ortocentra  V  při pohybu vrcholu C po přímce p.

obr. 4  Množina ortocenter V.

obr. 5
Při změně polohy vrcholů trojúhelníka ABC a přímky p
se množina ortocenter dynamicky překresluje.

Vraťme se k našemu příkladu. Ověřme domněnku, že vykreslená množina ortocenter je nějaká kuželosečka. Vytvořme kuželosečku tak, že umístíme pět jejích bodů na získanou množinu. Shledáme, že tato kuželosečka splývá s množinou, a to i při deformacích konstrukce. Když sem přesuneme kurzor, ohlásí se nám tyto dva objekty jako množina a hyperbola. V případě, kdy by přímka p byla rovnoběžná se stranou AB, bychom dostali parabolu, jak se můžeme snadno přesvědčit tak, že předefinujeme přímku p na rovnoběžku. Dále bychom mohli v úloze pokračovat a standardními metodami geometrie kuželoseček bychom sestrojili osy, vrcholy, ohniska a další prvky výsledné kuželosečky a zjistili (mimochodem velmi zajímavé) souvislosti s daným trojúhelníkem.

Program dále umí provádět běžná geometrická zobrazení objektů: středovou a osovou souměrnost, posunutí, otočení, stejnolehlost a kruhovou inverzi. Chceme-li dejme tomu sestrojit obraz určité kružnice v osové souměrnosti podle určité přímky, aktivujeme nástroj osová souměrnost, klepneme na kružnici – vzor, klepneme na osu a vznikne kružnice – obraz. Jen u kruhové inverze je to trochu jinak – tam může jako vzor sloužit jen bod. Leží-li na objektu, v kombinaci s nástrojem množina objektů můžeme vykreslit obraz toho objektu.

Při ověřování hypotéz se hodí testy, které zjišťují, a to s téměř absolutní přesností, zda jsou určité přímky kolmé, resp. rovnoběžné, zda je bod stejně vzdálen od dalších dvou bodů a zda bod leží na daném objektu. I hlášení výsledku testu je dynamické: když se při deformaci konstrukce situace mění, mění se i nápis ohlašující výsledek testu.

Další významnou větví programu jsou metrické a numerické funkce. Cabri dokáže změřit vzdálenost dvou bodů, vzdálenost bodu od přímky, délku úsečky, kružnice a oblouku, obvod mnohoúhelníka, obsah kruhu, mnohoúhelníka a elipsy. Vestavěný kalkulátor pak umožňuje dále zpracovávat naměřené veličiny.

Příklad. Několika způsoby určíme obsah trojúhelníka.

1. Nástrojem trojúhelník vytvoříme trojúhelník PQR. Nástrojem přímkaproložíme tři přímky třemi dvojicemi vrcholů. (Z evidentních důvodů jsme strany trojúhelníka prodloužili.) Nástrojem vzdálenost a délka změříme vzdálenost bodu P (při přiblížení kurzoru se nabídne od tohoto bodu) od přímky QR (k této přímce). Podobně změříme vzdálenost bodů Q, R. Když taháme vrcholy po nákresně, naměřené hodnoty se příslušným způsobem mění, i ty jsou dynamické. Aktivujeme nástroj výpočty – zobrazí se kalkulátor a očekává vstupní hodnoty. Klepneme na naměřenou hodnotu délky strany QR, ta se na nákresně označí jako a a tento symbol pro proměnou se objeví na displeji kalkulačky. Klepnutím na tlačítko * nebo z klávesnice zadáme operand násobení, klepneme na změřenou velikost výšky, která se dostane na displej v podobě proměnné b, přidáme  /2 a klepneme na =.  Na displeji se objeví výsledek. Ten pak můžeme vytáhnout na nákresnu a případně k němu ještě připojit vhodný komentář. I když bychom pak ještě prováděli další výpočty na kalkulátoru a kalkulátor třeba i zavřeli, získaný výsledek zůstává živý a při deformaci trojúhelníka se dynamicky přepočítává. (Při použití ve škole bychom asi postup obměnili a doplnili bychom do obrázku výšku jakožto úsečku kolmou na stranu, také bychom nešetřili barvami (i číselné hodnoty a komentáře možno barvit).)

2. Změříme ještě délku strany PQ a nástrojem úhel velikost úhlu PQR. Podobně jako v předcházejícím případě vypočteme na kalkulátoru obsah jako PQ*QR*sin(PQR)/2     a vytáhneme ho na nákresnu (obr. 7).

3. Obsah trojúhelníka PQR jsme mohli změřit rovnou. Aktivujeme nástroj obsah, klepneme na trojúhelník a zjeví se obsah. Při deformaci trojúhelníka se všechny tři hodnoty obsahu mění a stále souhlasí.

obr. 7
Výpočet obsahu trojúhelníka.
Tři proměnné jsou při vkládání do kalkulátoru interně pojmenovány a, b, c.

Jednotky měr a počet zobrazených míst u naměřených veličin se dají nastavit. Kalkulátor přitom pracuje nejen s numerickými hodnotami, ale respektuje i jednotky a rozměry veličin.

Z numericko-geometrických funkcí zmiňme ještě nástroj nanést délku. Na nákresnu můžeme totiž umístit nejen naměřené hodnoty, ale i čísla (případně i s jednotkou), která vytvoříme přímo číselným editorem a můžeme je později dynamicky editovat (dokonce i pružinovým pohonem, kterým jsme již pohybovali geometrickými objekty). Na polopřímku, kružnici a další objekty lze pak nanášet úsečky, resp. oblouky dané délky, což dává základ pro další vděčné aplikace.

Arzenál standardních funkcí programu lze doplňovat dalšími tzv. makrokonstrukcemi, které program můžeme “doučit”. Stačí konstrukci jednou provést a pak spustit učící proces, během něhož postupně označíme vstupní objekty konstrukce, výstupní objekty a vyplníme okno dotazující se na název makrokonstrukce, nápovědu apod. Makrokonstrukce se pak objeví v nabídce jako další položka a když je aktivována, stačí klepnout na vstupní objekty a objeví se objekty výstupní. Tak např. když jsme takto definovali makrokonstrukci tečna z bodu k elipse, stačí příště už jen klepnout na nějakou elipsu a nějaký bod (vstupní objekty), aby se dokreslily tečny a body dotyku (výstupní objekty). Tomu, kdo programuje, to jistě připomíná procedury s parametry.

Užitečná je i funkce historie. Posloupnost jednotlivých kroků konstrukce se totiž ukládá do paměti a lze ji krok za krokem reprodukovat. Učitel si tak může konstrukce připravit předem a pak předvádět jejich vznik, dají se tak analyzovat hotové konstrukce, ať už třeba ukázkové příklady nebo domácí cvičení žáků. Projeví-li se se zpožděním následky nějaké chyby, nemusíme začínat znovu, stačí se jen pozpátku dopracovat k chybě a jen od tohoto místa konstrukci opravit.

Velmi silnou větví programu je analytická geometrie. Můžeme zobrazit osy soustavy souřadnic (kartézské nebo polární), pracovat se souřadnicemi bodů, rovnicemi přímek, kružnic a kuželoseček.

Vraťme se k příkladu s množinou ortocenter. Do obr. 4 doplňme osy (zobrazit osy), zvolme nástroj souřadnice a rovnice, klepněme na hyperbolu a zjeví se její rovnice, klepněme na vrchol trojúhelníka a zjeví se jeho souřadnice (obr. 8). Při deformacích se souřadnice i rovnice dynamicky přepočítávají.

Souřadnice jsou po naměřených hodnotách a číslech další objekty, které mohou vstupovat do kalkulátoru. Kombinujeme-li tyto možnosti s nástrojem nanést délku, můžeme snadno vykreslovat grafy funkcí a využívat dynamiky celého systému. Na kreslení grafů funkcí a jejich derivací jsou samozřejmě k dispozici spousty programů. I když v Cabri nestačí jen napsat předpis pro funkci a hned sklízet výsledky, dává i tato aplikace zajímavé možnosti pro výuku.

Příklad. Sestrojíme graf funkce y = x³+px²+1 , kde p je reálný parametr.

Zobrazíme osy. Na osu x umístíme bod X a na nákresnu nějaké číslo jako počáteční hodnotu parametru p. Nástrojem souřadnice a rovnice zobrazíme souřadnice bodu X, smažeme y-ovou souřadnici (bude stále nulová a není zajímavá) a x-ovou souřadnici pro přehlednost odtáhneme do rohu. Aktivujeme kalkulačku, vypočteme hodnotu  x³+px²+1 , přitom p vložíme klepnutím na jeho hodnotu a x vložíme klepnutím na x-ovou souřadnici bodu X. Výsledek vytáhneme na nákresnu a pak ho nástrojem nanést délku naneseme na osu y, vzniklý bod označíme Y. Kdyby bod Y nepadl na nákresnu, můžeme buď potáhnout za bod X nebo jezdci na kraji okna pozměnit polohu okna na nákresně. Kolmicemi v bodech X, Y k osám vytvoříme “záměrný kříž” bodu se souřadnicemi (x,y). Aktivujeme nástroj množina objektů, klepneme na bod (x, y), klepneme na bod X a vykreslí se graf funkce. Měníme-li hodnotu parametru p, graf se dynamicky překresluje. Poklepeme-li na výsledek vytažený z kalkulátoru, obnoví se na displeji výraz, jehož je hodnotou, můžeme ho libovolně editovat a graf se podle toho poslušně mění.

Program počítá hodnoty funkcí, zobrazuje body, vykresluje množiny a nanáší délky s tak vysokou přesností, že lze touto technikou demonstrovat i základy diferenciálního počtu.

Pokračujme v předešlém příkladě a přidejme do obrázku graf derivace zobrazené funkce.

Na nákresnu přidáme ještě jedno – zatím libovolné - číslo d, které bude hrát roli přírůstku proměnné x. Stejně jako předtím vypočteme na kalkulačce hodnotu y(x+d), vytáhneme ji na nákresnu, vypočteme hodnotu y’(x) = (y(x+d) – y(x))/d (s použitím klepání na předcházející výsledky), naneseme ji na osu y a sestrojíme graf funkce y’(x). Ten ovšem závisí na d, jak se můžeme přesvědčit, když měníme jeho hodnotu. Je-li hodnota d “infinitesimální”, řekněme 0,0001, tj. 1 mikron, můžeme graf směle pokládat za graf derivace funkce y(x) (obr. 9) .

obr. 9
Graf funkce y = x3+px2+1 pro p = -2. Když taháme bodem X po ose x,
vše se přepočítává, bod (x, y) jezdí po grafu funkce a bod (x, y´) po grafu
její derivace. Přepíšeme-li hodnotu parametru p, vše se překreslí.
Vlevo nahoře je rovnice grafu derivace. Mohli jsme si ji dát vypsat,
neboť v našem případě jde o kuželosečku (parabolu).

Při jeho dalším zkoumání můžeme ovšem používat i geometrické nástroje, tak třeba v našem případě na graf umístit pět bodů kuželosečky a přesvědčit se, že graf je parabola, zobrazit její rovnici, přesvědčit se, že pro různé hodnoty parametru p tato rovnice stále souhlasí s derivací získanou analytickým derivováním, sestrojit tečnu ke grafu funkce y(x) jako spojnici dvou mikroskopicky vzdálených bodů grafu, zobrazit její směrnici a studovat souvislost s derivací atd.

Podobným způsobem lze pochopitelně vykreslovat křivky dané parametrickými rovnicemi (x(t), y(t)), kde proměnná t probíhá určitý interval a je “materializována” buď měnícím se číslem nebo bodem probíhajícím úsečku apod. Další využití pro vyšší školu analytické geometrie nabízejí polární souřadnice nebo možnost mít ve hře několik souřadných systémů současně. Naopak elementaristé si mohou nechat zobrazit v nákresně síť mřížových bodů s celočíselnými souřadnicemi – přímky a kružnice určené mřížovými body mají učebnicové rovnice s pěknými koeficienty. Jak asi funguje tabelování dynamicky se měnících naměřených a vypočtených veličin si jistě čtenáři dovedou představit.

Výčet funkcí programu zakončíme připomenutím jeho komunikačních funkcí. Popisujeme zde program fungující pod Windows (všech typů) a jsou zde tedy k dispozici nástroje běžné u windowsovských aplikací. Tak např. schránka slouží k přenosu objektů mezi současně otevřenými okny (tj. obrázky), k exportu obrázků do jiných programů ve standardních grafických formátech (zejména do textových a grafických procesorů), k exportu tabulek do tabulkových procesorů, naopak k importu textů z textových procesorů jako komentářů do obrázků. Obrázky i makrokonstrukce lze samozřejmě ukládat do souborů na disk a opět je číst. Obrázky lze tisknout přímo z Cabri nebo prostřednictvím jiných programů.
 
 

Roku 1993 byla počeštěna tehdejší verze Sketchpadu. Jako součást programového vybavení počítačů Apple – MacIntosh byla tehdy dodána na některé české školy (zejména na severní Moravě) a byla donedávna v prodeji i ve verzi pro Windows. Se zánikem obchodní společnosti, která byla partnerem distributora programu, zmizel i Sketchpad z našeho trhu. Dnešní mnohem silnější verze Sketchpadu podle všeho lokalizována nebyla. Zde budeme komentovat aktuální verzi programu, i když ilustrace byly vytvořeny ve starší české verzi.

Sketchpad je velmi blízce příbuzný s Cabri a většina funkcí se shoduje. Nebudeme je tedy znovu uvádět a zmíníme se jen o významnějších rozdílech.

Na první pohled je patrný odlišný grafický styl. Výtvarná stránka Cabri je subtilnější, Sketchpad je robustnější. Cabri je bližší evropskému vkusu pro vzhled geometrického výkresu, objekty na nákresně Sketchpadu jsou zřetelnější i při méně kvalitní projekci obrazu (obr. 10).

Sketchpad nemá v kolekci svých objektů kuželosečky a neumožňuje testovat polohu geometrických objektů. Mezi zobrazeními nenajdeme inverzi, zato však Sketchpad umožňuje uživateli, aby si dodefinoval další zobrazení složené ze základních zobrazení.

Závažné rozdíly jsou ve způsobu užívání nástrojů. Tak třeba kružítko: v Cabri nejprve vybereme nástroj z nabídky, pak klepneme na úsečku – poloměr, pak na bod – střed, podobně jako při ručním rýsování: nejprve uchopíme kružítko, pak nastavíme poloměr, nakonec zapíchneme do středu. Nejprve operátor, pak operandy. Sketchpad ortodoxně respektuje macintoshovskou “filozofii”: nejprve se vždy v nákresně označí vstupní objekty a až pak se určí, jaká operace se nad nimi provede – nejprve operandy, pak operátor. O těchto z výukového hlediska podstatných rozdílech se svého času velmi diskutovalo. Příznivci Sketchpadu argumentovali mj. tím, že v Cabri to stejně není důsledné, např. ke smazání objekt nejprve označíme a teprve pak zmáčkneme klávesu Delete.

Cabri vypisuje u kurzoru (nabývajícího celkem 15 forem) identifikační hlášení relevantních potkávaných objektů, která jsou už přizpůsobena právě zvolenému nástroji. U Sketchpadu jsou tato hlášení vzhledem k tomu, že nástroj ve fázi vybírání objektů ještě není zvolen, méně rozmanitá (i kurzor může z téhož důvodu nabývat jen několika základních tvarů) a vypisují se v dolním rohu okna, až na okraji zorného pole.

Cabri je zásadně vizuální a nesymbolické. Proč mluvit o trojúhelníku ABC, když ho můžeme hezky obarvit třeba na zeleno a mluvit o zeleném trojúhelníku? Objekty je možno, ale není nutno nazývat a případné názvy jsou zcela na libovůli uživatele. (Jedinou výjimkou je automatické označování proměnných při vkládání do kalkulátoru.) Ne tak ve Sketchpadu, kde se všem objektům při jejich vzniku implicitně přiřazují názvy. Názvy nemusejí být zobrazeny, uživatel si je může změnit, ale každý objekt nějaký název má. Při různých příležitostech pak názvy objektů ve Sketchpadu vystupují na povrch a při některých akcích se uživatel na názvy objektů musí odvolávat, vyplňovat je do určitých dialogů a pod. Na druhé straně však tato symbolika umožňuje vyjádřit zařazení každého objektu do hierarchie závislosti provedených prvků konstrukce. Klepnutím na tlačítko s otazníkem na levé straně okna a na objekt se uživatel může dozvědět, ze kterých objektů bezprostředně vznikl, a dalším klepnutím může pak ještě vyvolat důkladnou informaci o posloupnosti všech předků i následníků. I Cabri samozřejmě objekty i s jejich souvislostmi eviduje, ale jen interně.

Další markantní koncepční rozdíl mezi Sketchpadem a Cabri je v definování a aplikování makrokonstrukcí. Jak jsme se již zmínili, v Cabri lze makrokonstrukce definovat z jakékoliv hotové konstrukce (třeba i z obrázku načteného z disku) oklepáním vstupních a výstupních objektů. Ve Sketchpadu je to zcela jinak. Konstrukci určenou k tomu, aby byla kondenzována v makrokonstrukci, provádíme ve speciálním režimu a při každém kroku se jeho slovní popis s využitím názvů objektů automaticky zapíše jako další řádek tzv. scénáře (obr. 11). V záhlaví scénáře jsou uvedeny vstupní parametry a výstupem je vlastně kompletní konstrukce, ne jen její výsledné objekty. Do scénáře lze také přidat příkaz zajišťující rekurzívní opakování algoritmu konstrukce, což umožňuje pohodlně kreslit fraktálovité obrázky. Uložený scénář lze pak aktivovat a realizovat po označení aktuálních vstupních parametrů buď řádek po řádku (což připomíná historii v Cabri) nebo najednou. Právě tato poněkud těžkopádná koncepce makrokonstrukcí bývá nejčastějším terčem kritiků Sketchpadu, kteří si stěžují, že se žáci s makrokonstrukcemi nikdy nenaučí spolehlivě pracovat.

Do obrázků lze ve Sketchpadu doplňovat tlačítka, kterými se pak dají spouštět připravené pohyby, zjevování a skrývání objektů a podobné efekty.

Sketchpad je vybaven rozsáhlou a promyšleně strukturovanou nápovědou, která má charakter důkladného kurzu ovládání programu, i když je k programu přiložena rozsáhlá příručka . Naopak, autoři Cabri si s nápovědou mnoho práce nedali, v originále je velmi povrchní a při převodu do češtiny ji bylo nutno upravit a doplnit. Když už jsme se zmínili o české lokalizaci, u Sketchpadu má vážné nedostatky. Uživatel je asi zpočátku zmaten, když v nabídce zobrazení (display) najde položky upravující grafický vzhled objektů, zatímco geometrická zobrazení se skrývají pod hlavičkou obraz (transform), ale brzy si zvykne. Nazývat jako plochu kruhu sám kruh (circle interior) a také jeho obsah (area) by si však zvykat neměl. V originále je hierarchický vztah závislosti objektů pěkně vystižen jako parents – children, to se však asi překladatelům zdálo málo odborné a v české verzi máme nadmnožiny – podmnožiny. To ovšem vede k nežádoucím kolizím s obvyklým významem těchto termínů: kružnice je pak podmnožinou svého středu a pod. Také jazyková úroveň přeložených příruček ke Sketchpadu je slabá. Naštěstí nápověda zůstala v originále.
 
 

Pěkným příkladem studentské práce, která přesáhla rozměr jedné katedry, je program Geom. Jako diplomovou práci ho vypracoval na fakultě řízení a informatiky Vysoké školy pedagogické v Hradci Králové r. 1997 Aleš Zemánek pod vedením docenta Antonína Slabého. Program sice neumí všechno, co Cabri nebo Sketchpad, v tom co umí, však snese profesionální měřítka. Geom nemá kalkulátor, nemá dynamické množiny (pouze stopy bodů), chybějí kuželosečky i testy vlastností, nelze vybarvovat kruh ani vnitřek mnohoúhelníku. Nenabízí jako základní nástroje geometrická zobrazení, některá si však uživatel může sám doplnit ve formě makrokonstrukcí. Úhly se zde vlastně dají měřit jen prostřednictvím kruhových oblouků, což je dosti těžkopádné a nepřirozené. Skoro všechny jednodušší funkce Cabri a Sketchpadu program umí (obr. 12) a v některých směrech přináší originální nápady.

Pojetí makrokonstrukcí připomíná Cabri, uživatel tu však může do hotové makrokonstrukce pohodlně zasahovat a upravovat definici vstupních parametrů. Na druhé straně Geom umožňuje zadat jako parametry makrokonstrukce prakticky cokoliv, zatímco Cabri důkladně diagnostikuje, jsou-li výstupní parametry korektně určeny vstupními. Autor Geomu úspěšně vyřešil i komplikovanou problematiku předefinovávání vazeb objektů. Měření a analytická geometrie se tu skrývají v nabídce konstrukce pod nenápadnou položkou údaje. Ta umožňuje o každém objektu na nákresně zjistit její analytické charakteristiky, tak třeba u kružnice její poloměr, délku, obsah a rovnici (obr. 13). Každý údaj lze zobrazit k objektu a pak se chová dynamicky. Originálně je v programu řešen pohyb objektů. Určitým nedostatkem Cabri je, že u pohybů, které se tam určují natažením pružin, nemůžeme přesně stanovit jejich rychlost, což znemožňuje fázové sladění současných pohybů více objektů i přesné zopakování animace. V Geomu se parametry pohybu zadávají numericky, takže je uživatel má plně pod kontrolou. Objekty typu trojúhelník a mnohoúhelník  Geom nezná, je tu však možno sdružovat úsečky a oblouky do skupin, což umožňuje sestavit nejen mnohoúhelníky, ale daleko obecnější objekty. Velmi pečlivě je ošetřeno nastavování různých variant konfigurace programu, zpracování obrázků před tiskem a exportem a všechny systémové záležitosti. Nápověda je důkladná a přehledná, stejně jako příručka pro uživatele. Zkušenosti uživatele programu obsahuje závěrečná kapitola práce [15 ] . Geom je k dispozici zdarma v ostré verzi [12]. Rozhodně je daleko nejúčinnějším programem tohoto typu české provenience.

Následovník staršího programu Geometrické konstrukce, který ještě neměl dynamické vlastnosti. Dokáže vytvářet body, přímky, polopřímky, úsečky a kružnice, dále jejich průsečíky a obrazy ve středové souměrnosti, osové souměrnosti, posunutí a otočení, kolmice a rovnoběžky, osy úseček a úhlů. Měří vzdálenost bodů, vzdálenost bodu od přímky a velikost úhlu. Vše se při pohybu objektů dynamicky překresluje a přepočítává. V omezené míře lze vykreslovat i stopy objektů. Program umožňuje připojovat k objektům názvy, ale nevyžaduje to (jako zmíněný starší program). K dispozici jsou různé síly a barvy čar, k obrázkům lze připisovat komentáře. Program předpokládá, že s ním budou pracovat žáci, takže každá akce je provázena poučením v přiměřeném stylu (obr. 14). Jsou tu zúročeny zkušenosti autora, učitele matematiky RNDr. Petra Branta. Kromě průběžné nápovědy je program vybaven ještě standardní nápovědou ve formě příručky určené spíše učitelům. Je sympatické, že v kapitolce Co program neumí tu sám autor přiznává některá podstatná omezení programu. Nejvíc uživatele asi naštve, že když chcete chcete smazat objekt, musíte postupovat pozpátku a postupně smazat i všechny objekty, které jste sestrojili později, ať už s ním souvisejí nebo ne. Program nezná instituci bodu na objektu, pracuje pouze s volnými body a průsečíky. Problémy působí objekty protínající se ve dvou společných bodech – program v některých situacích průsečíky zaměňuje. Jsou-li v obrázku sestrojeny průsečíky objektů a uživatel přesunutím některého z nich způsobí, že se přestanou protínat, program ohlásí tzv. kolizi, zatímco v sofistikovanějších programech prostě průsečík z nákresny zmizí a opět se objeví, jakmile jsou obnoveny podmínky pro jeho existenci. Dá se tedy říci, že labužníky program neuspokojí, nicméně pro využití k nejjednodušším školským účelům postačí. Dynamická geometrie je na teachwarovém trhu levně k dostání [16].

Dalším pěkným příkladem studentské činnosti je program Geom, který vytvořil r. 1996 student gymnázia v Zábřehu na Moravě Libor Švéda pod vedením svého profesora matematiky RNDr. Jaroslava Hajtmara. Má podobnou sílu jako předcházející program a je pozoruhodné, že jde o dílo středoškoláka. Už v době jeho vzniku bylo však bohužel vážnou překážkou uživání tohoto programu jeho ovládání instrukcemi psanými do příkazového řádku DOSu. Autor nyní už jako vysokoškolský student program značně zdokonalil, přesto se ve stínu Cabri, Sketchpadu nebo i Geomu z Hradce dnes už sotva uplatní.
 
 

VI. Geom – One (Praha)

Diplomová práce Vladimíra Šveřepy vytvořená r. 1996 pod vedením Jana Kašpara na matematicko-fyzikální fakultě UK v Praze dokáže vytvářet body, úsečky, přímky, polopřímky, vektory a kružnice, jejich průsečíky, kolmice, rovnoběžky, dále pak sčítat a odčítat vektory a posouvat body o vektor. Měření, množiny ani stopy nejsou mezi funkcemi programu. Současně s prováděním konstrukce se vytváří její zápis ve standardním symbolickém jazyce, který nacházíme v některých učebnicích geometrie. Konstrukci lze pak reprodukovat krok za krokem aktivací tohoto protokolu.

Pro úplnost vyjmenujme ještě několik dalších dynamických planimetrických programů, které se užívají k podpoře výuky geometrie v zahraničí, a o nichž se naši čtenáři mohou dočíst: Cinderella, Felix, Geolog, Géoplan, Geometric Supposer, Geometry Inventor, Geonet, Thales.
 
 

O nezbytnosti zařazení zdánlivě archaické konstrukční geometrie do sylabů matematiky základních a středních škol snad dnes už málokdo pochybuje, o různých aspektech její užitečnosti se už popsalo mnoho papíru. Užití popsaných programů tu představuje bez přehánění revoluci: místo rutinního rýsování a statických obrázků nabízí experimentování, objevování, formulování – potvrzování – vyvracení domněnek, dynamiku, grafickou dokonalost. Jaká příležitost pro učitele i autory učebnic. Některé z uvedených programů jsou u nás už několik let propagovány na konferencích učitelů matematiky i v rámci dalšího vzdělávání učitelů – jenže s minimálním ohlasem. Málo počítačů, málo peněz na vybavení, málo hodin geometrie, mnoho žáků ve třídě, velké úvazky. Inu, kdo chce za ten bídný učitelský plat vydržet s křídou a tabulí až do penze a nenamáhat se s novotami, snadno si to zdůvodní ...

Reference

[1] Demonstrační verze programu Cabri II: na těchto stránkách
[2] České prostředí k programu Cabri II: na těchto stránkách
[3] Distribuce Cabri II v ČR: Akermann Electronic, Praha 10, Ukrajinská 2, 02/71746247, pavel@akermann.cz
[4] Seibert, J., Slabý, A., Trojovský, P.: Cabri geometrie, Gaudeamus, Vysoká škola pedagogická v Hradci Králové, 1997
[5] Seibert, J., Slabý A., Trojovský P.: Výuka podporovaná programem Cabri, sborník 17. semináře odborné skupiny pro geometrii a počítačovou grafiku, 1997,135 – 143
[6] Vaníček, J.: Matematika na počítači: geometrická místa bodů, MFI roč. 9 (2000), č. 9 a 10
[7] Vrba, A.: Geometrie na počítači, učebnice pro kurzy TTT, 1999, na této stránce
[8] Vrba, A.: Přehled nabídek Cabri Geometrie, příručka pro kurzy TTT, 1999, na této stránce
[9] Elektronická konference, archivy obrázků, makrokonstrukcí a učebních materiálů, další reference: http://www-cabri.imag.fr, http://www.cabri.net
[10] Distributor Sketchpadu, demonstrační verze ke stažení, mnoho dalších materiálů a odkazů: http://www.keypress.com
[11] Gelná, B., Gwužďová, B.: The Geometer’s Sketchpad, metodická příručka pro základní a střední školy, První s.r.o., 1995
[12] Ostrá verze Geomu (HK) ke stažení, příručka: http://iris.vsp.cz/grafika/geom/
[13] Zemánek, A., Slabý, A.: Geom - program pro výuku školské geometrie, sborník semináře Poškole, Lázně Sedmihorky, 1997, 52 - 55
[14] Seibert, J., Slabý A., Trojovský P.: Český software GEOM – pomocník učitele geometrie, sborník semináře Poškole, Lázně Sedmihorky, 1998, 111 – 113
[15] Šilínová, M.: Využití počítače ve výuce geometrie na ZŠ, diplomová práce VŠP (ved. T. Kozel), 1999, http://iris.vsp.cz/grafika/geom_sb/
[16] Distributor Dynamické geometrie v rovině: Pachner, Kostelní 44, Praha 7, http://www.pachner.cz