Klepnete-li myší na některý obrázek v tomto článku, obrázek se Vám otevře přímo v Cabri (pokud máte aplikaci nainstalovanou - pokud ne, lze nainstalovat demoverzi)

Zobrazení roviny do sebe se nazývá shodné, když zachovává vzdálenosti.

identita, posunutí, otočení, středová souměrnost, osová souměrnost.

Vytvořte v nákresně přímku o a body A, B. Sestrojte obrazy A’, B’ bodů A, B v osové souměrnosti podle osy o. Změřte vzdálenosti AB, A’B’, tahejte body A, B po nákresně a pozorujte, že naměřené vzdálenosti se stále shodují.

Poznámka: Začátečníci si někdy dobře neuvědomují, co je obrazem nějaké množiny bodů (že je to množina obrazů těchto bodů), k čemuž může přispět i to, že Cabri umožňuje vytvářet přímo obrazy množin. Proto může být užitečné ukázat, že přímo vytvořený obraz souhlasí s množinou vytvářenou bod po bodu.

Vytvořte kružnici a mimo ni bod S. Na kružnici zvolte body A, B, C, D, E a postupně sestrojujte jejich obrazy ve středové souměrnosti podle středu S. U obrazu A’ bodu A zapněte zanechávání stopy, pohybujte bodem A po kružnici a vytvořte stopu jeho obrazu A’. Vypněte kreslení stopy a smažte stopu. Nechte vykreslit množinu bodů A’ při pohybu bodu A po kružnici. Konečně sestrojte obraz kružnice v souměrnosti podle středu S pomocí položky Středová souměrnost.

Na začátek

1. Vytvořte v nákresně dva body S a A.
2. Aktivujte položku Středová souměrnost v nabídce C2 a sestrojte obraz A’ bodu A v souměrnosti podle středu S.
3. Pohybujte bodem A v nákresně a hledejte polohu, při níž A = A’.

1. Vytvořte v nákresně přímku o a bod A.
2. Aktivujte položku Osová souměrnost v nabídce C2 a sestrojte obraz A’ bodu A v souměrnosti podle osy o.
3. Pohybujte bodem A v nákresně a hledejte polohu, při níž A = A’.

1. Vytvořte v nákresně dva body  S a A. Dále vytvořte číslo (nabídka E1), např. 55.
2. Aktivujte položku Otočení v nabídce C2 a sestrojte obraz A’ bodu A v otočení o úhel 55° podle středu S.
3. Pohybujte bodem A v nákresně a hledejte polohu, při níž A = A’.

1. Vytvořte v nákresně vektor v a bod A.
2. Aktivujte položku Posunutí v nabídce C2 a sestrojte obraz A’ bodu A v posunutí o vektor v.
3. Pohybujte bodem A v nákresně a hledejte polohu, při níž A = A’.

Na začátek

1. Vytvořte v nákresně bod S a přímku p.
2. Aktivujte položku Středová souměrnost v nabídce C2 a sestrojte obraz p’ přímky p v souměrnosti podle středu S. Přímku p’ přebarvěte.
3. Pohybujte přímkou p v nákresně a hledejte polohu, při níž p = p’. (Přímkou při tom posunujte i otáčejte.)

1. Vytvořte v nákresně dvě přímky o, p.
2. Aktivujte položku Osová souměrnost v nabídce C2 a sestrojte obraz p’ přímky p v souměrnosti podle osy o. Přímku p’ přebarvěte.
3. Pohybujte přímkou p v nákresně a hledejte polohu, při níž p = p’.

1. Vytvořte v nákresně bod S a přímku p. Dále vytvořte číslo (nabídka E1), např. 55.
2. Aktivujte položku Otočení v nabídce C2 a sestrojte obraz p’ přímky p v otočení o úhel 55° podle středu S. Přímku p’ přebarvěte.
3. Pohybujte přímkou p v nákresně a hledejte polohu, při níž p = p’.

1. Vytvořte v nákresně vektor v a přímku p.
2. Aktivujte položku Posunutí v nabídce C2 a sestrojte obraz p’ přímky p v posunutí o vektor v. Přímku p’ přebarvěte.
3. Pohybujte přímkou p v nákresně a hledejte polohu, při níž p = p’.

1. Najděte samodružné kružnice uvedených shodných zobrazení.

(Středová souměrnost a otočení - všechny kružnice se středem ve středu souměrnosti, resp. otočení, osová souměrnost - všechny kružnice se středem na ose, posunutí - žádné).

2. Najděte všechny samodružné trojúhelníky a čtyřúhelníky v jednotlivých zobrazeních.
3. Zkoumejte samodružnost n-úhelníků.

Na začátek

Směrem rozumíme množinu všech navzájem rovnoběžných přímek.

Každá z následujících aktivit začíná vytvořením “směru”, se kterým budeme experimentovat - směr složený z nekonečně mnoha přímek zde bude reprezentován jen několika přímkami . Vytvořte přímku p a pak sestrojte několik přímek s ní rovnoběžných. Při tom body, kterými povedete rovnoběžky, je výhodné volit rovnoměrně v ploše nákresny (aby při natáčení “směru” se pak rovnoběžky neshlukovaly v některé části nákresny). Výchozí přímku p pak můžete natáčet (v případě potřeby i posouvat) spolu s celým “směrem”. Pro opakované použití si můžete obrázek se “směrem” uložit jako soubor.

1. Vytvořte v nákresně přímku o a směr.
2. Aktivujte položku Osová souměrnost v nabídce C2 a sestrojte obraz směru v souměrnosti podle osy o tak, že postupně sestrojíte obrazy jednotlivých přímek směru. Obrazy přímek přebarvěte.
3. Přímkou p natáčejte směr a hledejte polohu, při níž směr splyne se svým obrazem (což neznamená, že splynou příslušné přímky, ale jen to, že obě soustavy přímek jsou rovnoběžné!).

1. Vytvořte v nákresně bod S a směr.
2. Aktivujte položku Středová souměrnost v nabídce C2 a sestrojte obraz směru v souměrnosti podle středu S tak, že postupně sestrojíte obrazy jednotlivých přímek směru. Obrazy přímek přebarvěte.
3. Přímkou p natáčejte směr a hledejte polohu, při níž směr splyne se svým obrazem.

1. Vytvořte v nákresně bod S a směr. Dále vytvořte číslo (nabídka E1), např. 55.
2. Aktivujte položku Otočení v nabídce C2 a sestrojte obraz směru v otočení o úhel 55° podle středu S tak, že postupně sestrojíte obrazy jednotlivých přímek směru. Obrazy přímek přebarvěte.
3. Přímkou p natáčejte směr a hledejte polohu, při níž směr splyne se svým obrazem.

1. Vytvořte v nákresně vektor v a směr.
2. Aktivujte položku Posunutí v nabídce C2 a sestrojte obraz směru v posunutí o vektor v tak, že postupně sestrojíte obrazy jednotlivých přímek směru. Obrazy přímek přebarvěte.
3. Přímkou p natáčejte směr a hledejte polohu, při níž směr splyne se svým obrazem.

Na začátek

Vytvořte v nákresně přímku o, bod S a bod X. Sestrojte obraz o(X) bodu X v osové souměrnosti podle osy o a pak obraz S(o(X)) tohoto bodu o(X) ve středové souměrnosti podle středu S. Sestrojte obraz S(X) bodu X ve středové souměrnosti podle středu S a pak obraz o(S(X)) tohoto bodu S(X) v osové souměrnosti podle osy o. Zobrazení, které každému bodu X přiřazuje bod S(o(X)), vzniklo složením osové a středové souměrnosti, zobrazení, které každému bodu X přiřazuje bod o(S(X)), vzniklo složením středové a osové souměrnosti.

1. Všimněte si, že (pokud jste střed S nezvolili na ose o) body S(o(X)) a o(S(X)) nesplývají - při skládání zobrazení tedy záleží na pořadí.
2. Tahejte bodem X po nákresně a zjistěte, pro které body X je S(o(X)) = o(S(X)).
3. Tahejte bodem X po nákresně a hledejte samodružné body složených zobrazení, tj. body, pro které je X = S(o(X)) nebo X = o(S(X)).
4. Tahejte bodem S po nákresně a určete vzájemnou polohu středu S a osy o, při níž se obě zobrazení shodují, tj. pro všechny body X platí S(o(X)) = o(S(X)).

Podrobněji: Vzdálenost bodů S(o(X)), o(S(X)) je rovna čtyřnásobku vzdálenosti středu S od osy o (a nezávisí tedy na volbě bodu X). Vzdálenosti bodu X od bodů S(o(X)), o(S(X)) se obě rovnají a nejmenší hodnoty, rovné dvojnásobku vzdálenosti středu S od osy o, nabývají, když bod X leží na kolmici vedené středem S k ose o.

5. Přesvědčte se, že v případě, kdy střed S leží na ose o, jsou obě složená zobrazení osovou souměrností s osou, která je kolmá k ose o a prochází středem S.
6. V případě, kdy střed S neleží na ose o, není složené zobrazení posunutím, osovou souměrností, středovou souměrností, otočením ani identitou. Existují tedy i jiná shodná zobrazení.

• v případě rovnoběžných os posunutí o vektor, který je kolmý k osám, orientován od osy souměrnosti, kterou provedeme jako první, k ose druhé souměrnosti a jeho velikost je rovna dvojnásobku vzdálenosti os
• 
• v případě různoběžných os otočení kolem průsečíku os o úhel, který je orientován od první osy ke druhé a jeho velikost je rovna dvojnásobku odchylky os.

1. Složením dvou středových souměrností vznikne posunutí o vektor rovný dvojnásobku vektoru, který má počáteční bod ve středu první souměrnosti a koncový bod ve středu druhé souměrnosti.



2. Složením dvou otočení (S, a) a (Z, b) vznikne otočení o úhel a + b kolem středu O. Složeným zobrazením přejde bod S do bodu Z(S) a do bodu Z přejde jeho vzor S^-1(Z) v otočení (S, a). Bod O tedy dostaneme jako průsečík os úseček SZ(S) a S^-1(Z)Z. (Bod S^-1(Z) sestrojíme ho otočením bodu Z kolem středu S o úhel –a.)



V případě, kdy a + b je 0° nebo 360°, se složené zobrazení redukuje na posunutí o vektor SZ(S).



3. Složením otočení kolem středu S o úhel a a posunutí o vektor v vznikne otočení o úhel a kolem středu O. Složeným zobrazením přejde bod S do bodu v(S). Výsledné otočení má tedy střed O na ose úsečky Sv(S), přičemž je orientovaný úhel SOv(S) roven a - na základě této úvahy střed O snadno sestrojíme.

5. Složením posunutí o vektor v a otočení kolem středu S o úhel a vznikne otočení o úhel a kolem středu O. Složeným zobrazením přejde do bodu S jeho vzor v^-1(S) v posunutí. Výsledné otočení má tedy střed O na ose úsečky v^-1(S)S, při němž je orientovaný úhel v^-1(S)OS roven a - na základě této úvahy střed O snadno sestrojíme. (Bod v^-1(S) sestrojíme jako obraz bodu S v posunutí o vektor –v nebo jako obraz bodu v(S) ve středové souměrnosti podle středu S.)

Na začátek

Dvěma (různými) dvojicemi odpovídajících si bodů A → A’, B → B’ jsou určena právě dvě shodná zobrazení v rovině. Jedno je přímá a druhé nepřímá shodnost.

Jsou-li dány dvě dvojice bodů tak, aby AB = A’B’, a zvolíme libovolný bod X, musí pro obraz X’ tohoto bodu v takovém zobrazení platit A’X’ = AX, B’X’ = BX.

Vytvořte body A, B a A’, B’ tak, aby AB = A’B’ (body A, B, A’ zvolte libovolně, dále sestrojte kružnici se středem A’ a poloměrem AB (kružítkem - nabídka C1) a zvolte na ní bod B’, kružnici můžete skrýt. Dále vytvořte bod X tak, aby neležel v přímce s body A, B. Z bodu A’ opište kružnici s poloměrem AX a z bodu B’ kružnici s poloměrem BX (pomocí kružítka), jejich průsečíky označte X’₁ a X’₂ tak, aby vrcholy trojúhelníka A’B’X’₁ byly popsány ve stejném smyslu jako u trojúhelníka ABX, a vrcholy trojúhelníka A’B’X’₂ v opačném smyslu. Zobrazení, které každému bodu roviny X přiřazuje bod X₁’, je shodnost, zobrazení, které bodu X přiřazuje bod X₂’, je také shodnost a jsou to jediná dvě shodná zobrazení přiřazující bodu A bod A’ a bodu B bod B’. První z těchto shodností je přímá a druhá nepřímá.

Zopakujte tuto konstrukci pro stejné body A, B, A’, B’ a jiný bod Y, dostanete body Y’₁ a Y’₂. (Práci si můžete ušetřit, když vytvoříte makrokonstrukci se vstupními objekty A, B, A’, B’, X a výstupními X’₁ a X’₂ a použijete ji na body A, B, A’, B’, Y.) Změřte vzdálenosti XY, X’₁Y’₁, X’₂Y’₂, pohybujte body X, Y a pozorujte, že se všechny tři vzdálenosti stále rovnají.

Shodné zobrazení je tedy jednoznačně určeno dvěma odpovídajícími si trojúhelníky, ABC → A’B’C’ (AB = A’B’, BC = B’C’, AC = A’C’).

Vyplatí se nám, když si pro účel zadávání shodných zobrazení připravíme makrokonstrukci, která k danému trojúhelníku ABC a daným bodům A’, B’ (A’B’ = AB) vytvoří bod C’ tak, aby ABC, A’B’C’ byly trojúhelníky se stejně dlouhými odpovídajícími si stranami. Jak víme, tomuto požadavku vyhovují dva body. Podle potřeby můžeme pak využívat jen jeden (a druhý třeba smazat.) Můžeme také vytvořit dvě makrokonstrukce dávající jen jeden bod C’, jednu pro přímou a druhou pro nepřímou shodnost. (Příslušnou konstrukci jsme již provedli o odstavec výše.)

Poznámka: Dvojici přímo shodných trojúhelníků lze v nákresně snadno vytvořit také následujícím způsobem: Vytvoříme trojúhelník ABC, označíme ho ukazovátkem (buď klepneme na jeho obvod nebo ho zarámujeme), zkopírujeme ho do schránky (Upravit / Kopírovat nebo Ctrl+C) a kopii vložíme ze schránky na nákresnu (Upravit / Vložit nebo Ctrl+V). Původní trojúhelník i kopii můžeme tahat (vlastně posunovat) po nákresně a můžeme jimi otáčet po volbě položky Otáčení z nabídky A. Intuitivně i teoreticky je sice jasné, že takto dostaneme libovolné dva přímo shodné trojúhelníky v rovině, pro ilustraci skládání a rozkládání zobrazení se však takováto příprava nehodí z technických i didaktických důvodů:

• každý z trojúhelníků lze deformovat nezávisle na druhém, čímž se poruší jejich shodnost, přitom k takovéto deformaci může dojít “neodborným zacházením” při přemísťování trojúhelníka,
• trojúhelníky evidentně vznikly z původního trojúhelníku skládáním jen dvou speciálních shodných zobrazení, posunutí a otočení, což buď nevhodně předjímá výsledky dalšího výkladu, nebo vyvolává pochybnosti o obecnosti umístění kopie.

Na začátek

Jak jsme se již přesvědčili, jsou i jiná shodná zobrazení než identita, středová a osová souměrnost, posunutí a otočení - příklad takového zobrazení jsme dostali, když jsme složili středovou a osovou souměrnost, pokud střed neležel na ose. Ukážeme, že každé shodné zobrazení se dá složit z několik málo zobrazení uvedených typů. Zobrazení budeme reprezentovat dvojicemi odpovídajících si trojúhelníků. Každý experiment zahájíme tím, že si připravíme dvojici trojúhelníků ABC ®  A’B’C’ podle návodu uvedeného výše.

1. Každé přímé shodné zobrazení lze složit z posunutí a otočení.

Trojúhelník ABC nejprve posuneme o vektor AA’. Jeho obraz A₁B₁C₁ (kde A₁ = A’) pak otočíme o úhel B₁A₁B’ (tj. o úhel, který svírají odpovídající si strany daných trojúhelníků, např. AB a A’B’). V tomto případě nezáleží na pořadí, v jakém posunutí a otočení provedeme.



 

2. Každé nepřímé shodné zobrazení lze složit z osové souměrnosti, posunutí a otočení.

Trojúhelník nejprve zobrazíme v osové souměrnosti podle libovolné osy.

Jeho obraz A₁B₁C₁ již bude přímo shodný s trojúhelníkem A’B’C’ - převedli jsme úlohu na předcházející případ. Zbývá sestrojit posunutí a otočení, které zobrazí trojúhelník A₁B₁C₁ na trojúhelník A’B’C’.



Tyto výsledky ještě vylepšíme:

3. Každé přímé shodné zobrazení je otočení nebo posunutí.

Nejsou-li odpovídající si strany trojúhelníků ABC, A’B’C’ rovnoběžné, sestrojte osy odpovídajících si dvojic bodů AA’, BB’, CC’. Přesvědčte se, že se vždy protínají v jednom bodě. Společný bod je středem otočení.



Jsou-li odpovídající si strany trojúhelníků ABC, A’B’C’ rovnoběžné, posunutí o vektor AA’ zřejmě zobrazí trojúhelník ABC na A’B’C’. (V tomto případě jsou osy úseček AA’, BB’, CC’ rovnoběžné a jejich směr je kolmý na směr posunutí.)



 

4. Každé nepřímé shodné zobrazení lze složit z osové souměrnosti a otočení.

Každé nepřímé shodné zobrazení lze složit z osové souměrnosti a posunutí.

Zobrazením trojúhelníka ABC v osové souměrnosti podle libovolné osy, která je (resp. není) rovnoběžná s osou úhlu svíraného odpovídajícími si stranami, dostaneme trojúhelník A₁B₁C₁, který je přímo shodný s trojúhelníkem A’B’C’ a má (resp. nemá) s ním rovnoběžné strany.

Dále pokračujeme podle (3).

5. Každé nepřímé shodné zobrazení lze složit z osové souměrnosti a posunutí tak, že osa souměrnosti je rovnoběžná s vektorem posunutí.

Sestrojte středy odpovídajících si dvojic bodů AA’, BB’, CC’ a přesvědčte se, že vždy leží v přímce (využijte test V přímce?, který najdete v nabídce D1). Sestrojte obraz A₁B₁C₁ trojúhelníka ABC v osové souměrnosti podle této přímky o. Přesvědčte se, že vektory A₁A’, B₁B’, C₁C’ jsou stejně dlouhé a rovnoběžné s přímkou o.



 

6. Každé přímé shodné zobrazení lze složit ze dvou osových souměrností.

Sestrojte osu úsečky AA’. Obraz trojúhelníka ABC v osové souměrnosti podle této osy označte A₁B₁C₁- zřejmě A₁ = A’. Sestrojte osu úsečky B₁B’. Obraz trojúhelníka A₁B₁C₁ v osové souměrnosti podle této osy označte A₂B₂C₂ - zřejmě A₂ = A₁ = A’, B₂ = B’ a v případě přímé shodnosti i C₂ = C’. Pro nepřímou shodnost sestrojte ještě osu úsečky C₂C’. Osová souměrnost s touto osou již převede trojúhelník A₂B₂C₂ na trojúhelník A’B’C’.

U nepřímé shodnosti se může stát, že již A₁B₁C₁ = A’B’C’ - pak je řešením trojnásobné provedení osové souměrnosti podle osy úsečky AA’.

Na začátek