Práce popisuje, jak byla pomocí Cabri geometrie objevena a pak pomocí komplexních čísel dokázána následující věta z geometrie trojúhelníku:

Nechť je dán trojúhelník ABC a k, l,m tři Apolloniovy kružnice, které jsou po řadě množinami takových bodů X, že AX : BX = u : v, resp. BX : CX = v : t, resp. CX : AX = t : u, kde u, v, t jsou tři libovolná navzájem různá kladná čísla. Potom mají tyto kružnice společnou chordálu, která prochází středem kružnice opsané trojúhelníku ABC.

Možnost pohybovat v Cabri geometrii s body, přímkami, kružnicemi a mnohými dalšími objekty poskytuje nespočet příležitostí zkoumat proměnné geometrické objekty a objevovat nové poznatky. Takové zkoumání a objevování může být nejen na úrovni více či méně zkušených žáků,ale i na úrovni zkušených učitelů nebo dokonce geometrických expertů. Všechny tyto skupiny Cabri pokusníků mohou zažít nefalšovanou radost z toho, že při vlastním pokusnictví počítač "poslouchá" jejich "hru"s myší a vytváří z původních obrázků nové - někdy očekávané, jindy naopak neočekávané - obrázky. To nečekané se může stát vyzvou k novému, cílenějšímu zkoumání. Druhá vlna radosti přichází, když se podaří objevit něco nového, a když se navíc podaří takový objev přesně formulovat. Je však nutné, abychom si uvědomili, že takto získáme pouze hypotézu.Tu je třeba odůvodnit, dokázat. Ten, kdo se odhodlá k hledání důkazu,může se na konci této cesty dočkat třetí vlny radosti, když vlastním duševním úsilím kýžené mety - objevení důkazu - dosáhne.
 

Obr. 1 - můžete pohybovat bodem B.

V tomto příspěvku uvedu některé zkušenosti svých studentů i své vlastní, které jsem získal při experimentování s Apolloniovými kružnicemi. Na začátek připomenu definici Apolloniovy kružnice:

Nechť jsou dány dva body A,B a poměr u : v (u ?v). Potom se dá ukázat, že množinou M všech bodů T, pro které platí AT : BT = u : v, je kružnice k opsaná nad průměrem PQ, jehož krajní body P a Q ležína přímce AB a platí pro ně (ABP) = -(ABQ) = u : v. (Body P a Q tedy patří k množině M.) Viz obr. 1, kde u : v = 1 : 2.

Právě tato kružnice k se nazývá Apolloniova kružnice.

Zkoumání Apolloniovy kružnice jako množiny bodů pomocí Cabri geometrie popisují Vrba a Vaníček (viz [1], čl.: Množiny bodů podrobněji). Zmiňují se o některých technických problémech, se kterými se můžeme při sestrojování Apolloniovy kružnice jako množiny bodů setkat.

My jsme sestrojovali Apolloniovu kružnici pomocí shora zmíněných bodů A a B. Čísla u a v jsme znázornili na číselné ose a jejich tažením po číselné ose jsme mohli měnit výslednou množinu. Vyřešili jsme i případ, kdy u = v. Příslušná množina M je v tomto případě jak známoosou úsečky AB. Obrázek jsme sestrojili tak, že když při tažení některého z bodů u, v po číselné ose tyto body splynou, změní se právě Apolloniova kružnice na osu úsečky AB. (V tomto příspěvku se však těmito podrobnostmi nebudeme zabývat.) To nám umožnilo přijmout název Apolloniova křivka, což je v případě u ?v Apolloniova kružnice a v případě u = v osa úsečky AB.

Jako obdobu Apolloniovy kružnice pro dva body A,B a poměr u : v jsme zavedli pojem Apolloniův bodpro tři body A,B,C (neležícív přímce) a složený poměr u : v : t, což je takový b od Q, pro který platí AQ : BQ : CQ = u : v : t.

Na první pohled se může zdát, že jeho sestrojení je jednoduché. Připomínám, že tento problém jsme se studenty řešili nejdříve bez Cabri geometrie jen na papíře. Idea byla jednoduchá: Sestrojíme Apolloniovu křivku k pro body A,B a poměr u : v a druhou Apolloniovu křivku m pro body A,C a poměr u : t. Jejich průsečík - pokud existuje - je hledaný bod. Studenti načrtnuli většinou od ruky vlastní obrázky, podobné například obr. 2.

Obr. 2 - pohybujte vrcholy A, B, C trojúhelníka

Z diskuse vyplynulo, že můžeme pro "kontrolu" sestrojit ještě třetí Apolloniovu křivku l pro body B,C a poměr v : t. Studenti načrtávali obrázky podobné - obr. 3.

Obr. 3 - pohybujte vrcholy A, B, C trojúhelníka.  Lze pohybovat i středem černé kružnice.

Pohledem na obrázek vyvstaly otázky: Kolik bodů vyhovuje úloze? Které z bodů vyznačených na obrázku 3 šipkou vyhovují úloze? Je vůbec obrázek dobře načrtnut?

Poslední otázku nejspíše vyvolala představa případu, kdy u : v : t = 1 : 1 : 1 a výsledkem je jediný bod, střed kružnice opsané trojúhelníku ABC. To u některých vzbudilo představu, že musí být i zde jeden výsledný bod, a že je tudíž obrázek špatně načrtnut. Avšak analogie důkazu tvrzení o osách stran trojúhelníku aplikovaná pro náš případ vedla k tomu, že musí úloze vyhovovat i body vyznačené na obrázku 3 šipkami.Závěr diskuse vedl k poznání, že když nějaký bod vyhovuje dané úloze,musí jím procházet všechny tři Apolloniovy křivky. Jinými slovy všechny tři Apolloniovy křivky tvoří svazek.

Uvedené zkušenosti nás vedly k tomu, abychom se pokusili tuto úlohu řešit pomocí Cabri geometrie. Pokusy s Cabri geometrií potvrdily tak objevené tvrzení o svazku Apolloniových kružnic či křivek.

Zkoumání Apolloniových bodů v závislosti na změně parametrů, ať už na tvaru trojúhelníku ABC nebo na změně čísel u, v, t, vedlo k nové myšlence: Hledané Apolloniovy body leží na společné chordále tří shora zmíněných Apolloniových křivek (vylučujeme případ, že jde o tři přímky). Zkusme vyšetřit pomocí Cabri geometrie, jak se tyto chordály mění, kdyžměníme parametry u, v, t. Tuto společnou chordálu nazýváme v dalším Apolloniovou přímkou trojúhelníku ABC příslušnou k poměru u : v : t.

První pokus byl vyšetřit množinu Apolloniových přímek odpovídající konstantním hodnotám parametrů u, t a proměnnému parametru v. Výsledek ukazuje obrázek 4. Zdá se, že všechny odpovídající Apolloniovy přímky procházejí jedním bodem. Ke stejnému výsledku dojdeme, když měníme jen parametr u nebo jen parametr t. Obrázky dokonce naznačily, že jde o stále stejný bod. Hypotéza je, že tento bod (nazvěme jej bod X) je nezávislý na parametrech u, v, t.

Obr. 4 - pohybujte vrcholy trojúhelníka. Bod Poh mění velikost parametru t.

Nové pokusy odpovídající jinému tvaru trojúhelníku ABC jen tuto hypotézu potvrdily.

Vyvstala ovšem nová otázka. Kterým bodem všechny Apolloniovy přímky procházejí? Řešení této otázky se ukázalo složitější. Po několika neúspěšných pokusech řešit tuto otázku dospěl autor k prvnímu nápadu, který řešení otázky přiblížil. Ten spočíval ve zkoumání polohy neznámého bodu X v závislosti na tom, zda u vrcholu C je pravý, ostrý nebo tupý úhel. Pokusy naznačily, že v prvním případě leží bod X na přímce AB, ve druhém případě nad přímkou AB a konečně v posledním případě pod přímkou AB. Zkoumáním pravoúhlého trojúhelníku vedlo k hypotéze, že neznámý bod X je středem kružnice opsané trojúhelníku ABC, což se dalo pomocí obrázku ověřit. Další experimenty ukázaly, že i v případě ostatních trojúhelníků je neznámý bod X středem kružnice opsané trojúhelníku ABC.
 

Došel jsem tak k hypotéze, že platí věta: Nechť ABC je libovolný trojúhelník a u, v, t tři libovolná navzájem různá kladná čísla. Potom všechny tři Apolloniovy kružnice k = {X;AX : BX = u : v}, l = {X;BX : CX = v : t}, m = {X;CX : AX = t : u} mají společnou chordálu, která prochází středem kružnice opsané trojúhelníku ABC.

Nyní nastal asi nejtěžší úkol, tuto větu dokázat. Jedinou možnou cestu jsem viděl ve výpočtu. První pokusy naznačovaly, že výpočet bude dost technicky složitý.

Klíčem bylo najít vhodný matematický aparát. Spásná myšlenka byla použít komplexní čísla, trojúhelník zvolit tak, aby jeho vrcholy ležely na jednotkové kružnici. Pak stačí ukázat, že chordála libovolných dvoukružnic prochází počátkem.

Postup výpočtu budeme sledovat na obr. 5. Uvedeme však jen výsledky dílčích kroků, podrobné výpočty si může čtenář doplnit sám. Vrcholy trojúhelníku jsou komplexní čísla a, b, c. Protože leží na jednotkové kružnici J, je
 

(1)

Vypočítáme střed a poloměr kružnice K. Nejdříve určíme krajní body p, q jejího průměru. Z rovností (abq) = -u/v, (abp) = u/v dostaneme:
 

Nyní již vypočítáme střed s a poloměr r kružnice K:
 

(2)

Podobně vypočítáme střed s´ a poloměr r´ druhé Apolloniovy kružnice, která odpovídá bodům b, c.
 

(3)

Z údajů (1 a (2) můžeme sestavit rovnici chordály, stačí dosadit do vzorce (viz například [2, str. 116]):
 

(4)

Chceme dokázat, že chordála prochází počátkem. Nutnou a postačující podmínkou pro to je, že absolutní člen v rovnici (4) se rovná nule. Vypočítáme proto jen
 

(5)

Dosadíme-li z rovností (2) a (3) do (4), dostaneme po úpravách a s využitím vztahů (1) výsledek 0. Zjistíme přitom, že závorky na pravé straně rovnosti (5) se sobě rovnají a jejich rozdíl je tedy nula.

Tím naše dobrodružství s objevováním pomocí Cabri skončilo jednu svou kapitolu. Na ty, kteří si oblíbili nebo ještě oblíbí Cabri geometrii, čekajímnohá další dobrodružství. Přeji všem, učitelům, žákům i výzkumníkům,kteří se touto cestou vydají, aby to byla cesta úspěšná a zajímavá.
 

Poznámka:

Literatura

[1] Vrba, A.: Geometrie na počítači (učebnice ke kurzu ovládání programu Cabri Geometrie II pro Windows), s. 70, viz též internetovou verzi.
[2] Ráb, M.: Komplexní čísla v elementární matematice, MU Brno 1996, 2. vydání, s. 209. ISBN 80-210-1475-X

Práce byla zpracována za podpory výzkumného záměru VZ-J13/98:1141000004
Článek je kopií článku vydaného ve sborníku prachatického  8. setkání učitelů matematiky všech typů a stupňů škol, pořádané JČMF v listopadu 2002.  Rozšířenou německou verzi článku najdete ve sborníku 37. Tagung, konané v Dortmundu 3.3.-7.3. 2003. V této rozšířené německé verzi je zjednodušen důkaz věty ukazující, že Apolloniovy osy procházejí středem kružnice  opsané. Navíc je v něm dokázána prostorová varianta ulohy o Apol. kulových plochách.