Úloha o kupci a loupežnících

aneb jak jsem "znovuobjevil" Apolloniovu kružnici pomocí Cabri a Maple

Jiří Vaníček

Abstrakt

Pedagogická teorie tvrdí, že k podstatně kvalitnějšímu učení u jedince dochází tehdy, když na některý poznatek přijde sám, znovu jej pro sebe objeví. Podle konstruktivistických teorií si člověk takový "objev" zapamatuje na celý život, neboť je poznamenán silným emocionálním zážitkem. Často se proto ve škole snažíme takovýto objevovací proces navodit. Já měl to štěstí, že jsem mohl naprosto neplánovaně takový objev zažít, takže mohu potvrdit autenticitu silného prožitku při takovém objevování.
Článek pojednává o tom, jak jsem asi před 5 lety při experimentování s programem Cabri ve snaze vyřešit úlohu o kupci a loupežnících sám pro sebe objevil Apolloniovu kružnici. Popisuje postup mých úvah a na obrázcích ukazuje úlohu Cabri jako nástroje pro experimentování a ověřování hypotéz.

Úloha o kupci:

Kupec s povozem projíždí (stálou rychlostí) lesem po přímé cestě. V místě L mimo cestu číhají loupežníci chtějící kupce přepadnout. V okamžiku, kdy se kupec nachází v místě K, loupežníci vyrazí stálou rychlostí dvojnásobnou oproti rychlosti kupce. Kterým směrem mají vyrazit, aby při udržování přímého směru kupce neminuli?

Matematické zadání:

Je dána polopřímka c, bod K ležící na c, bod L ležící mimo c. Najděte bod X, ležící na c, jehož vzdálenost od K je poloviční jeho vzdálenosti od L.
 

Předpokládané řešení:

Bez znalosti Apolloniovy kružnice je tato úloha patrně velmi obtížně řešitelná. Znal jsem tuto úlohu několik let a protože jsem Apolloniovu kružnici neznal, nebyl jsem schopen úlohu vyřešit. Relativně dost dlouho a vytrvale jsem  marně zkoušel najít řešení a byl jsem tím poměrně rozčarován, neboť jsem si po přečtení zadání myslel, že úloha nemůže být těžká. Nicméně řešení jsem nenašel, úlohu jsem odložil.

Hledání hypotézy pomocí Cabri

Když jsem se seznámil s programem Cabri a zkoušel jsem, co všechno dovede, vzpomněl jsem si na úlohu o kupci a  zkusil jsem udělat si v Cabri náčrtek (dnes bych to asi nazval dynamický model situace). Následující obrázky přiblíží můj postup.

1. Na polopřímce s krajním bodem K jsem zkonstruoval bod "kupec". K určení rychlosti loupežníků jsem potřeboval dvojnásobnou vzdálenost, než kterou urazil kupec od bodu K: sestrojil jsem obraz K´ bodu K ve středové souměrnosti se středem v bodě "kupec". Nástrojem kružítko jsem sestrojil kružnici o poloměru KK´ se středem v bodě L.

Obr. 3
2.  Na obrázku sestrojená kružnice představuje množinu bodů, do nichž mohli dospět loupežníci, zatímco kupec urazil zdálenost od K ke "kupec". Je zřejmé, že pokud nastavíme situaci tak, aby bod "kupec" ležel na kružnici, je úloha vyřešena.

3.   V další konstrukci jsem sestrojil kružnici k se středem v K, procházející bodem "kupec". Pokud by kupec jel libovolným směrem z K, průsečíky obou kružnic představují možné body, v nichž se mohli loupežníci s kupcem setkat.

4.   Snažil jsem se vyšetřit množinu všech těchto průsečíků X1, X2 pomocí nástroje stopa a poté množina objektů (na obrázku červeně). Množina vytvořená programem Cabri připomínala části kružnice.
 

Obr. 4
5. Na množině jsem sestrojil 5 bodů a proložil jimi kuželosečku. Cabri tuto kuželosečku pojmenovalo jako kruhovou elipsu (na obrázku modře čárkovaně).
Průsečík této "kruhové elipsy", tedy kružnice, s polopřímkou KK´ je oním hledaným bodem X, místem přepadu, a řešením úlohy je polopřímka LX.

6.   Snadno jsem zjistil předpokládaný střed této kružnice jako bod S ležící na LK, kdy vzdálenost KS je třetinou vzdálenosti LK, i její poloměr rovný polovině KL. Sestrojil jsem kružnici k (S;KL/2) a ověřil, že je totožná s kruhovou elipsou nalezenou experimentem (sestrojil jsem bod na kružnici k a nástrojem Leží na objektu? testoval, zda tento bod vždy leží též na kruhové elipse).
Nyní jsem věděl postup konstrukce a úlohu sestrojil, neměl jsem však žádný důkaz o tom, že množinou průsečíků kružnic k, l je kružnice a.

Postup konstrukce (viz obrázek níže):

1. sestrojit přímku KL a rozdělit úsečku KL na tři stejné díly  - získat tři shodné úsečky KL', L'L", L"L
2. sestrojit bod S - obraz L" v středové souměrnosti podle K
3. sestrojit kružnici a se středem v S, procházející L"
4. sestrojit bod X - průsečík kružnice a s polopřímkou c
Obr. 6

Ověření

Snažil jsem se potvrdit výpočtem, že tato kružnice a je opravdu kružnicí. Na kružnici a jsem našel 6  bodů, jejichž polohu jsem uměl určit. Zjistil jsme jejich souřadnice a z nich vytvořil rovnici kružnice k.
(volil jsem pro jednoduchost souřadnice bodů L [0;0],  K [1;0] )
 
1.   Kružnice se dotýkají uvnitř
(bod X1 má souřadnice [2;0]
2.   Kružnice se dotýkají vně
(bod X2 - souřadnice [2/3;0])
3. a 4.   Kružnice l prochází bodem K
(bod X3 [7/8; V15/8],
bod X4 [7/8;-V15/8])

V15 - odmocnina z 15 
5. a 6.   Kružnice k a l se protínají "kolmo"
(poloměry kružnic s jedním krajním bodem
v jejich průsečíku jsou na sebe kolmé)
(bod X5 - souřadnice[4/5;2/5], 
bod X6 - [4/5;-2/5])
Z bodů X1 a X2 se dal snadno zjistit střed a poloměr kružnice a: S [4/3;0], r =2/3.
Dosadil jsem souřadnice bodů X3, X4, X5, X6 do rovnice kružnice a   (x - 4/3)2 + y2 =(2/3)2  a všechny body ležely na této kružnici.

Nyní jsem již sáhl do literatury a začal hledat (je těžší něco hledat, když nevíte, jak se to jmenuje) a Apolloniovu kružnici jsem nalezl.

Didaktický závěr

Je pěkné vědět, že znalost neelementárního matematického poznatku dokáže výrazně urychlit vyřešení jedné zapeklité úlohy (kdybych byl býval znal poznatek o Apolloniově kružnici, úloha by pro mě byla snadná - a také bych si ji asi nezapamatoval jako zvlášť významnou). Je ovšem také pěkné odhalit takovýto poznatek pomocí nástrojů, které máme k dispozici, a troufnu si tvrdit, že bez počítače a nástroje dynamické geometrie bych nedokázal hypotézu o pozdější Apolloniově kružnici vůbec nahlédnout.

Z tohoto pohledu se mi jeví přínosnější pro rozvoj geometrického vnímání jedince postup druhý - nikoliv množství sdělených poznatků (vzorců, vět, definic), ale nabídka vhodných problémů, v nichž může docházet k učení se objevováním, hledáním hypotéz a jejich ověřování ve vhodném modelovacím prostředí.

Snaha o zobecnění

Ač jsem nalezl Apolloniovu kružnici v literatuře (a tudíž předpokládal, že je "vše dokázáno"), přesto mě zážitek nad úlohou vedl k úvahám nad obecnější úlohou, kdy loupežníci se pohybují rychlostí u, kupec rychlostí v.
Pak (při souřadnicích bodů L [0;0], K [1;0]) mi průsečíky kružnic X1 [u/(u+v);0] a X2 [u/(u-v);0] pomohly zjistit střed a poloměr Apolloniovy kružnice, takže její rovnice vypadala
(1)

Vypočítal jsem obecné souřadnice zbývajících bodů kružnice a dosadil do rovnice kružnice:
 

Podobností pravoúhlých trojúhelníků na obrázku a pomocí Pythagorovy věty vyšly souřadnice bodu X3:
                          (2)
Po dosazení do rovnice kružnice  výsledná rovnice
přímo nabádala ke zpracování programem Maple: jejím zjednodušením bylo 0=0. 
Bod X3 tedy ležel na kružnici a.
Podobně pro bod X5 byly spočteny souřadnice , ,
(3)
které opět po dosazení vyhovovaly rovnici Apolloniovy kružnice (analogicky též body X4, X6).

Obecná rovnice kuželosečky a Maple

Při psaní tohoto článku jsem chtěl vyzkoušet program Maple, zda mi pomůže při ověření řešení úlohy o kupci vypočítat rovnici Apolloniovy kružnice v naší úloze z obecné rovnice kuželosečky.
Dosazoval jsem do obecné rovnice kuželosečky postupně souřadnice libovolných pěti ze šesti spočtených významných bodů Apolloniovy kružnice X1..X6:
 
V obrázku vpravo je patrné zadání úlohy počítači: rovnice kuželosečky a souřadnice pěti bodů Apolloniovy kružnice z úlohy o kupci.

Pěti analogickými příkazy typu

jsem dosadil do rovnice kuželosečky souřadnice bodů a získal tak soustavu pěti (dosti netriviálních) rovnic. 

Příkazem

pak byla úloha vyřešena: Maple nabídl řešení:

Protože B=0 a A=C, jedná se o kružnici.

Toto řešení poskytlo po dosazení rovnici kuželosečky
,
(4)

 jež se dala ručními úpravami převést na tvar

a poté na tvar (1). Tedy průsečíky představující potenciální místa přepadení kupce loupežníky opravdu vedly k Apolloniově kružnici i při obecném zadání úlohy.
 

Poslední poznámka: Bylo velice zajímavé pozorovat, jak se vůbec neměnilo řešení (4) pro různé kombinace pětic ze šesti bodů X1..X6.