Obsahy a objemy

Soubor apletů a obrázků v Cabri je pomůckou k výuce témat obsahy rovinných útvarů a objemy těles na ZŠ a SŠ. Text odstavců obsahuje metodický návod k práci s aplety, které otevřete klepnutím pomocí levého tlačítka myši na obrázek. Odpovídající obrázky v Cabri otevřete klepnutím na nadpis.

01 Obsah obdélníka

Obrázek slouží jako základní ukázka k seznámení s pojmem obsah obdélníka. První (názornou) představou by mělo být, že obsah útvaru je počet jednotkových čtverců, kterými lze útvar beze zbytku a bez překrývání pokrýt.

Sítí jednotkových čtverců v levé části obrázku můžeme posouvat úchopem za levý dolní mřížový bod. Přemístíme ji tak, aby se čtyři mřížové body kryly s vrcholy obdélníka a zjistíme, kolik jednotkových čtverců obdélník obsahuje. Dalším vhodným posunutím sítě můžeme demonstrovat, že počet jednotkových čtverců obsažených v obdélníku zůstane stejný i když mřížové body nejsou ve vrcholech obdélníka. Nemůžeme zde ukázat, že je tento počet invariantní i vůči otočení sítě. Lze však využít fyzikální úvahu: Kdybychom si vyrobili model obdélníka z homogenní destičky a ze stejné destičky i model jednotkového čtverce (obojí ve skutečné velikosti) a modely zvážili, je obsah určen podílem hmotností modelu obdélníka a čtverce. V tomto smyslu je obsah konstantou úměrnosti mezi daným útvarem a jednotkovým čtvercem.

Přesunutím sítě zpět do počáteční polohy a odsunutím obdélníka úchopem za levý horní vrchol odkryjeme obdélník, který je již na 15 jednotkových čtverců rozdělen. Čtverce lze po řadách „poskládat“ na číselnou osu přemisťováním za dolní vrcholy řad na levé straně obdélníka (začínáme odspodu).

02 Obsah čtyřúhelníka

Čtyřúhelník na obrázku můžeme posunovat úchopem za vnitřní bod kterékoli jeho strany. Čtvercovou sítí posouváme pomocí levého červeně vyznačeného bodu a otáčíme pomocí pravého červeného bodu. Má se zjistit obsah čtyřúhelníka.

To provedeme přemístěním sítě tak, aby nejdelší strana čtyřúhelníka ležela na některé přímce sítě a mřížový bod sítě byl ve vrcholu čtyřúhelníka při jeho pravém úhlu. Pokud je čtyřúhelník pokryt sítí, snadno spočítáme, kolik jednotkových čtverců obsahuje.

03 Přesnější odvození obsahu pravoúhelníka

Obsah rovinného útvaru lze definovat jako nezáporné číslo, jež splňuje tyto axiomy:

Jednotkový čtverec má obsah 1.

Obsahy shodných útvarů jsou si rovny.

Obsah sjednocení dvou útvarů, které nemají společné vnitřní body, je roven součtu obsahů těchto útvarů.

Pomocí nich nejprve odvodíme, že pravoúhelník jehož jedna strana má délku 1 a druhá délku a, má obsah S = a.

Jednotkový čtverec v levé části obrázku je rozdělen na n navzájem shodných obdélníčků o rozměrech 1 a 1/n. Různé hodnoty n můžeme nastavovat pomocí ovladače v horní části obrázku. Dodejme, že n je přirozené číslo, mají-li být všechny obdélníčky v jednotkovém čtverci shodné navzájem. Proto bychom na ovladači měli nastavovat jen celočíselné hodnoty n.

V pravé části obrázku je uvažovaný pravoúhelník jehož svislá strana má délku 1 a vodorovná délku a. Polopřímku, v níž leží dolní strana pravoúhelníka a jejíž počátek je v jeho levém dolním vrcholu rozdělíme podle obrázku na úsečky délky 1/n. Tyto úsečky jsou stranami obdélníčků shodných s těmi, na něž je rozřezán jednotkový čtverec. Počet všech takových obdélníčků beze zbytku obsažených v daném pravoúhelníku je k. Snadno určíme, že délka a splňuje vztah

d < a < d + 1/n,

kde d = k/n. Tedy číslo a je v intervalu šířky 1/n.

Pomocí axiomů 1 – 3 snadno ukážeme, že obsah jednoho obdélníčku je 1/n. Dále zjistíme, že podle axiomů 2 a 3 splňuje obsah S daného pravoúhelníka vztah

d < S < d + 1/n,

kde d = k/n. Nachází se tedy ve stejném intervalu jako a. S rostoucím n se šířka 1/n tohoto intervalu neomezeně zužuje, avšak čísla S i a v něm pořád leží. Je tedy S = a.

Poznámka: Pravé okraje kótování s údaji d =1/n a d + 1/n v pravé části tohoto obrázku se při změnách hodnoty čísla n neposouvají automaticky. Jejich polohu je nutno nastavit pro každou hodnotu n ručně úchopem za pravé konce kót.

V příslušném apletu můžeme měnit délku a strany pravoúhelníka úchopem za pravý dolní vrchol a zvětšováním hodnoty n pomocí ovladače názorně ukázat limitní přechod. Aplet při otevření nedodržuje uložené umístění názvů. Omluvte to, prosím, a názvy si posuňte do správné polohy.

Vylepšenou variantou předchozího obrázku je soubor 03A, kde není nutno kótování upravovat.

Na základě vztahu S = a pro pravoúhelník se stranami délek 1 a a podobně dokážeme, že obsah pravoúhelníka s rozměry a, b je S = ab. Jen místo čtverce zvolíme obdélník s vodorovnou stranou délky 1 a svislou stranou délky a (soubor 03B). Daný obdélník bude mít vodorovnou stranu délky b a svislou stranou délky a.

Analogickými axiomy pro zavedení objemu tělesa a analogickými úvahami pro kvádr zjistíme, že objem kvádru s rozměry a, b, c je V = abc.

03A Odvození obsahu pravoúhelníka, část A

03B Odvození obsahu pravoúhelníka, část B

04 Obsah rovnoběžníka

Tahem doprava za koncový bod vektorového ovladače odstraníme horní rovnoběžník a zviditelníme spodní, shodný s původním, který je rozdělen kolmicí v levém dolním vrcholu na dva útvary. Úchopem trojúhelníka za levý dolní vrchol a tahem doleva přetransformujeme rovnoběžník na obdélník se stranami délek a, v. Z šedého obdélníku „vytáhneme“ skrytý text S = av.

05 Obsah rovnoběžníka II

U takovýchto rovnoběžníků je předešlá transformace na obdélník složitější. Táhněte nejprve červeným ovladačem za koncový bod doprava, pak dolním ovladačem za koncový bod doleva. Vzorec „vytáhneme“ z šedé schránky obdobně jako u předešlého obrázku.

06 Obsah trojúhelníka

Pohybujte koncovým bodem vektoru ovladače po oblouku. Získáte rovnoběžník složený ze dvou středově souměrných trojúhelníků. Z šedé schránky „vytáhnete“ vzorec.

07 Obsah lichoběžníka

Obsluha je stejná jako u předchozí pomůcky.

08 Obsah kruhu

Pomůcky slouží k odvození vztahu pro obsah kruhu Kellerovou metodou: Kruh rozřežeme na velký počet n navzájem shodných úsečí, ze kterých poskládáme útvar podobný rovnoběžníku. Když se n blíží k nekonečnu, nabývá rovnoběžník tvar obdélníka se základnou πr a výškou r.

U všech tří souborů nejprve pohybujte koncovým bodem vektoru ovladače po oblouku. Potom uchopte horní pravý koncový bod horní pravé výseče a táhněte dolů.

Kruh I – 10 výsečí

Kruh II – 22 výsečí

Kruh III – 42 výsečí

Poznámka: S posledními dvěma aplety se pro složitost konstrukce hůře manipuluje. Proto je pro demonstraci lepší otevřít si obrázky v Cabri (klepnutím na nadpisy).

10A Odvození objemu kvádru, část A

10B Odvození objemu kvádru, část B

10C Odvození objemu kvádru, část C

11 Cavalieriho princip I

Pomůcka slouží k demonstraci Cavalieriho principu:

Jestliže pro dvě tělesa existuje taková rovina, že každá rovina s ní rovnoběžná protíná obě tělesa v rovinných útvarech se stejnými obsahy, mají tělesa stejný objem.

Pohybujte koncovým bodem vektoru nahoru.

12 Cavalieriho princip II

Tuto pomůcku lze využít ke zdůvodnění principu. Při pohybu koncovým bodem vektorového ovladače nahoru vznikají v apletu stopy obrazů podstav jehlanů v příslušných stejnolehlostech. (V originálním obrázku v Cabri musíme napřed stopu nastavit.) Jehlany se „navrství“ z „destiček.“ Destičky ve stejných výškách mají stejný elementární objem. Čím pomaleji bodem ovladače pohybujeme, tím hustěji se destičky navrství.

Stopy („destičky“) smažeme klepnutím pomocí tlačítka myši na ikonku „Krok vpřed“ na liště ovladače apletu. V Cabri pak pomocí příkazu „Upravit- překreslit.“

Pomocí Cavalieriho principu a stejnolehlosti ukážeme, že všechny jehlany a kužele mají tentýž objem, pokud mají stejnou výšku a stejný obsah podstavy.

13 Objem jehlanu I

Pohybem hodu na horním úsečkovém ovladači doprava „rozřežeme“ trojboký hranol na tři trojboké jehlany, jejichž výšky obsahy podstav jsou stejné. Pohybem bodu na dolním ovladači doleva odsuneme jehlany od sebe tak, aby byly oddělené.

Vektorové ovladače v pravé části obrázku umožňují měnit tvar trojbokého hranolu.

13 Objem jehlanu II

Pomůcka se ovládá analogicky, je zde jen zvolen jiný způsob rozřezání a jehlany lze odsouvat jednotlivě.