Uživatel pracující s programem Cabri Geometrie občas žehrá na přílišnou přesnost programu. Protože program počítá polohu bodů s přesností na 10 desetinných míst, je téměř nemožné ručně umístit bod do některé význačné polohy (např. umístit ručně bod na kružnici; přemístit kružnici tak, aby se jiné kružnice dotýkala; přesunout tětivu v průměr kružnice; vytvořit kuželosečku tak, aby měla jednoduchou rovnici nebo aby byla parabolou atd.). Pěkným efektem řady animací je možnost plynule přejít do speciálního případu (dvě tečny kružnice z bodu splynou v jednu; elipsa přejde v kruhovou elipsu). Počítačem vypočtené obsahy obrazců žáci snadněji zpaměti ověřují, jsou-li tyto počítány z jednodušších čísel.

Výuka geometrie se často dotýká speciálních případů vzájemných poloh a software dynamické geometrie má vhodné nástroje, které učiteli při výkladu či důkazech pomohou speciální případy nastavit.

• Uživatel může zkonstruovat obrázek, v němž budou body incidovat s potřebnými objekty - pak ale jsou na nich závislé napořád a nemohou je opustit.
• Cabri má nástroj Předefinovat objekt, jímž např. z bodu na přímce uděláme bod zcela volný (a naopak), ovšem akce předefinování může působit na žáky trochu magicky a nepřirozeně.
• Uživatel může definovat objekty pomocí číselných parametrů a editací čísel speciální polohu nastavit. I tato varianta má drobný nedostatek - není čistě geometrická.
• Dalším nástrojem k nastavení speciálních pozic je použití mřížových bodů. Zastavme se nad tímto zajímavým netradičním nástrojem a ukažme si v tomto článku jeho přednosti, úskalí a možnosti využití.

obr. 1 - mřížové body v Cabri Geometry

Takzvané mřížové body jsou body s celočíselnými. Máme-li v Cabri na nákresně zobrazeny souřadnicové osy, můžeme k nim nechat příkazem Mřížové body zobrazit i všechny mřížové body, které pak vytvoří na nákresně rastr (viz obr. 1). Vytvoříme-li bod v mřížovém bodě, při následném uchopení myší se tento bod neposouvá plynule po nákresně, ale "poskakuje" z jednoho mřížového bodu do nejbližšího dalšího. Přerušovaného pohybu takto vytvořených bodů stejně jako toho, že jejich souřadnice jsou "uživatelsky přítulné", lze s výhodou využít při vyučování geometrie či jeho přípravě. Ukažme si na jednoduchých příkladech.

Výhodou mřížových bodů je, že umožňují snadno nastavit objekty do žádaných tvarů. Trojúhelník sestrojený v mřížových bodech přesunutím jednoho vrcholu snadno změníme v pravoúhlý. Čtyřúhelník z mřížových bodů měníme manipulací jedním z vrcholů v rovnoběžník, čtverec, obdélník, lichoběžník (a přitom např. můžeme ověřovat jejich vlastnosti jako kolmost úhlopříček, délku stran nebo velikost úhlů - viz obr. 2).

Snadno také vytvoříme kružnice s celočíselnými poloměry, a pokud dvě kružnice umístíme na plochu tak, že vzdálenost jejich středů bude celočíselná, můžeme vzájemnou polohu kružnic testovat velmi snadno. Rychle nastavíme situaci vnějšího či vnitřního dotyku, bez tohoto nástroje velmi obtížně realizovatelnou, a tak můžeme nechat žáky v experimentu odvodit vztah pro poloměry kružnic a střednou.

Směrnice přímky definované dvěma mřížovými body je snadno spočitatelná; lze snadno nastavit přímku z mřížových bodů tak, aby měla danou směrnici (např. k = 2; -1; 2/5 apod.).

Obraz mřížového bodu ve středové souměrnosti podle mřížového bodu bude opět mřížový bod. Pokud použijeme mřížové body k definování vzoru a osy v osové souměrnosti, z rovnice této osy a souřadnic vzoru a obrazu mohou žáci sami snadněji “objevit” předpis tohoto zobrazení.

Zde se projevuje velká výhoda použití mřížových bodů pro výuku analytické geometrie: objekty vytvořené v mřížových bodech mají při snadné manipulaci jednodušší, řekněme “školské” souřadnice a rovnice, lépe se s nimi studentům počítá. Na počítači lze simulovat situaci z řady školních úloh z učebnice a využít tak Cabri opravdu jako náčrtník, jak stojí v jeho názvu.

Při experimentu může Cabri ověřit výpočet osy nebo středu souměrnosti konstrukcí středu či osy úsečky, je-li dána dvojice odpovídajících si bodů - vzor a obraz. V případě použití mřížových bodů jsou opět rovnice a souřadnice jednodušší.

Přímo ukázkové je užití mřížových bodů při výkladu o jednotlivých typech kuželoseček. V Cabri lze kuželosečku vytvořit z pěti bodů. Potřebujeme-li však parabolu, je téměř nemožné ji vytvořit pouhým ručním nastavením; museli bychom parabolu sestrojit nějakou konstrukcí. Pokud však víme, že parabola je grafem kupříkladu funkce y = x² a tedy že prochází třeba mřížovými body [0;0], [1;1], [-1;1], [2;4] a [-2;4], je křivka hotova prakticky ihned. Navíc lze s touto kuželosečkou provádět "metamorfózy". Zkusme například bod [0;0] posouvat po mřížových bodech osy y (viz obr. 3). Parabola postupně přechází v hyperbolu, v elipsu, ale také v kuželosečky singulární: dvojici rovnoběžek či různoběžek.

obr. 3 - posouváním bodu po mřížových bodech osy y snadno dosahujeme speciálních poloh kuželosečky 

Použití mřížových bodů evokuje pro studenty problémové úlohy, jimiž lze oživit výuku tohoto tématu.

• Je možno zadat úkol, najít ke čtyřem daným bodům pátý tak, aby společně určovaly určitý druh kuželosečky (úlohu nejprve ověřit v programu na mřížových bodech a pak s jednoduchými čísly spočítat).
• Pohybujeme-li pěti body určujícími kuželosečku po mřížových bodech, ve chvíli, kdy čtyři z těchto pěti bodů leží v přímce, kuželosečka přestane existovat. Studenty může tato situace zaskočit a učitel jí může využít k položení otázky, zda se jedná o chybu programu, nebo je příčina toho, že Cabri kuželosečku pro čtyři kolineární body nevykreslí, jinde.

• Lze přesunem libovolného vrcholu libovolného mřížového trojúhelníka docílit toho, aby přešel v pravoúhlý?
• Existuje rovnostranný mřížový trojúhelník?
• Má každý obecný mřížový trojúhelník aspoň jeden vrchol, jehož přemístěním by se tento trojúhelník změnil na rovnoramenný? Najdete protipříklad?
• Ověřte a dokažte hypotézu, že každý čtverec, mající dva ze svých sousedních vrcholů v mřížových bodech, má v mřížových bodech všechny své vrcholy.
• Pro které další pravidelné mnohoúhelníky tato vlastnost platí?

Ukažme si závěrem možnost využití mřížových bodů na třech příkladech.

1. příklad - kružnice daná mřížovým bodem

Sestrojíme kružnici se středem v počátku a procházející mřížovým bodem A. Bodem A pohybujeme po mřížových bodech a měříme poloměr kružnice. Spočteme-li druhou mocninu poloměru, kterou program průběžně přepočítává, vychází vždy celé číslo. Důkaz tohoto poznatku můžeme na úrovni Pythagorovy věty očekávat již od žáků základní školy.

Následují úlohy:

• Pohybujeme-li bodem A mimo souřadnicové osy, v některé poloze prochází kružnice mřížovým bodem na ose. Co je to za bod a jakou má souvislost s bodem A? (nalezli jsme celočíselný pythagorejský trojúhelník)
• Najděte další celočíselné pythagorejské trojúhelníky; najděte všechny takové trojúhelníky v určitých mezích.
• Vyznačte v rovině (v některém mřížovém bodě) bod, jehož vzdálenost od počátku je rovna odmocnině z n, nÎN
• Pro která nÎN lze takto odmocninu najít? Najděte a popište obecný princip.

Vyzkoušejte projekt na samostatné objevení a dokázání Pickova vzorce žáky, jak je popsáno v [Hejný 1990, str. 488], s pomocí výpočetní techniky.

Pickův vzorec pro mřížový mnohoúhelník (mnohoúhelník s vrcholy v mřížových bodech) říká, že jeho obsah vyjádříme vzorcem

S = v +h –1,

v značí počet vnitřních mřížových bodů mnohoúhelníka, h je počet mřížových bodů hraničních (ležících na stranách a vrcholy)

Žáci mají sami vzorec objevit a posléze dokázat. K tomu slouží v uvedené literatuře popsaná aktivita, kdy žáci kreslí na čtverečkovaný papír různé mnohoúhelníky, počítají jejich obsah a porovnávají s počtem mřížových bodů. Určování obsahu ve čtvercové síti je náročné na čas a představivost. Po určité době, kdy již žáci pochopí a zvládnou jeho určování, počítání obsahu začíná zdržovat v práci a odvádí pozornost od hledání hypotézy. V Cabri mohou žáci urychlit práci pouhým přetahováním vrcholů do nových pozic - program obsah spočítá, žáci nejsou rozptylováni nutností počítat obsahy a velmi rychle získají dostatek zkušeností k stanovení hypotézy. Rychlé přemísťování vrcholů mezi mřížovými body je zároveň efektivním nástrojem k ověření žákovské hypotézy.

obr. 5 - Ověření Pickova vzorce. Při změně tvaru čtyřúhelníka ”ubyl” jeden vnitřní mřížový bod, přibyl však jeden hraniční - obsah se tedy zmenšil o ”půl bodu”, tedy o 0,5 cm².

Pickův vzorec není jediný příklad, jak využít měření při změně tvaru mřížového útvaru jako námět pro samostatný experiment nadaných studentů. Sestrojíme-li mřížový trojúhelník ABC a změříme jeho obsah, při pohybu vrcholem A ve směru osy x nebo y se obsah bude lineárně měnit. Existuje přitom zajímavá souvislost mezi délkou a sklonem strany BC trojúhelníka na jedné straně a velikostí změny obsahu trojúhelníka (obsah se mění o polovinu rozdílu souřadnic vrcholů B a C ve směru kolmém na pohyb bodu A).

3. příklad - prvočísla

Najděme souvislost mezi mřížovými body, grafem nepřímé úměrnosti a dělitelností přirozených čísel. Tuto souvislost ukážeme na obdélnících o stejném celočíselném základu, majících dvě strany na souřadnicových osách.

Nejprve sestrojíme obdélník ABCD, který bude mít vrchol A v počátku, vrchol B libovolně na ose x a jehož obsah bude konstantní, pokud s bodem B budeme po ose x pohybovat (obr. 5). Obdélník sestrojíme s celočíselným obsahem.

Popis konstrukce:

V některém mřížovém bodě na ose y nejprve vytvoříme bod, označíme jej S (jeho y-ová souřadnice bude udávat hodnotu obsahu obdélníka ABCD, později bude představovat zkoumané přirozené číslo n). Tedy S = [ 0 ; n ].

Počátek je vrchol A obdélníka. Na ose x zvolíme bod B a hledáme bod D na ose y tak, aby součin vzdáleností |AB|.|AD| = n. K tomu bychom mohli použít některé z mocných nástrojů Cabri (výpočty, nanášení délky), spokojíme se ale s přímou úměrou a její geometrickou interpretací.

Spojíme body S a B úsečkou. Bodem [0;1] vedeme s touto úsečkou rovnoběžku a její průsečík s osou y je bod D. Sestrojíme již snadno vrchol C obdélníka a změřením můžeme zkontrolovat neměnnost jeho obsahu při pohybu bodu B po ose x. Množinou vrcholů C všech takových obdélníků je hyperbola. Sestrojíme ji pomocí nástroje Množina objektů.

V dalším se zaměříme pouze na první kvadrant, neboť nás zajímají přirozená čísla. Souřadnice n bodu S bude představovat zkoumané přirozené číslo. Budeme-li pohybovat bodem S po kladné ose y, hyperbola se mění se zajímavými souvislostmi.

• Spočítáme-li, kolika mřížovými body křivka prochází, známe počet dělitelů čísla n.
• Hodnoty těchto dělitelů jsou představovány x-ovými souřadnicemi těchto mřížových bodů.
• Prochází-li hyperbola mřížovým bodem ležícím na ose prvního kvadrantu, číslo n je druhou mocninou přirozeného čísla.
• Hyperbola prochází vždy dvěma (vyznačenými) mřížovými body Pokud neprochází žádným dalším mřížovým bodem, n je prvočíslo.

Hejný, M. a kol.: Teória vyučovania matematiky 2, SPN Bratislava 1990
Henn, H.W. - Jock, W.: Arbeitsbuch Cabri Géom?tre, Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn 1993
Vaníček,J.: Geometrie na počítači: geometrická místa bodů, MFI 4,5/1999
Vrba, A.: Oživlá geometrie, MFI 2,3/2000
Vrba, A.: Geometrie na počítači, učebnice pro kurzy TTT, 1999

Poslední tři citované publikace stejně jako elektronickou verzi článku najdete i na stránkách věnovaných Cabri geometrii http://www.pf.jcu.cz/cabri

PaedDr. Jiří Vaníček
Jihočeská univerzita, Pedagogická fakulta
e-mail: vanicek@pf.jcu.cz