V této části budeme vyšetřovat prostor, který má kromě všech vlastností, jež má afinní prostor, ještě jednu vlastnost navíc. Touto vlastností je možnost měřit vzdálenost mezi libovolnými dvěma body, stručně řečeno, zavedení metriky. Zavedení metriky nám umožní zkoumat nejen vzdálenost mezi body, ale i vzdálenost mezi podprostory eukleidovského prostoru - např. vzdálenost bodu od přímky, bodu od roviny, vzdálenost dvou mimoběžek apod. Na základě pojmu vzdálenost dvou bodů budeme zkoumat i obsahy a objemy těles, z nichž je základní objem simplexu. Od objemu simplexu se odvíjí výpočet objemu všech "složitějších" těles. Kromě vzdálenosti podprostorů a objemu simplexu budeme zkoumat ještě odchylku podprostorů, někdy se též říká úhel podprostorů. Všechny tyto pojmy lze definovat pomocí skalárního součinu dvou vektorů ze zaměření afinního prostoru. Stručně řečeno, eukleidovský prostor je afinní prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Budeme se proto nejprve zabývat vlastnostmi vektorových prostorů se skalárním součinem. Teprve po probrání základních vlastností těchto vektorových prostorů budeme definovat eukleidovský prostor.

K tomu, abychom mohli zkoumat vlastnosti eukleidovského prostoru je obvykle nutné zavedení soustavy souřadné tj. zobrazení, které každému bodu přiřadí vzájemně jednoznačně jeho souřadnice. Změníme-li soustavu souřadnou, změní se samozřejmě i souřadnice bodů. Vyjádříme-li např. objem čtyřstěnu pomocí souřadnic jeho čtyř vrcholů v nějaké kartézské soustavě souřadné, je zcela přirozené požadovat, aby se tento objem nezměnil, vyjádříme-li jej pomocí souřadnic vrcholů čtyřstěnu v jiné kartézské soustavě souřadné. Jedním z našich hlavních úkolů bude ukázat, že pojmy jako vzdálenost dvou bodů, vzdálenost dvou podprostorů, odchylka dvou podprostorů, objem simplexu aj. nezávisí na volbě soustavy souřadné, jinak řečeno, že tyto pojmy jsou pojmy geometrickými, či ještě jinak, že tyto pojmy jsou geometrickými invarianty (z latiny invarius = neměnný).

Řada pojmů z teorie vektorových prostorů se skalárním součinem se probírá v základním kursu lineární algebry. Myslíme však, že nebude na škodu, když budeme postupovat od počátku a zavedeme systematicky všechny potřebné pojmy.

1. Skalární součin

Definice 1.1.

Mějme dán vektorový prostor V_n dimenze n nad tělesem reálných čísel. Říkáme, že V_n je vektorový prostor se skalárním součinem nebo též unitární prostor, jestliže je každým dvěma vektorům a, b Î V_n přiřazeno reálné číslo a . b , které má tyto vlastnosti:

1. a . b = b . a ,

2. a . ( b + c ) = a . b + a . c , kde a , b , c Î V_n ,

3. (λa) . b = λ ( a . b ) , kde λ je reαlné číslo,

4. a . a ³ 0 ; a . a = 0 právě když a = o .

Číslo a . b nazýváme skalární součin vektorů a , b .

Úmluva: Místo a . a budeme psát a² .

Vlastnosti 1., 2., 3. nám říkají, že skalární součin je komutativní, distributivní a asociativní při násobení reálným číslem. Z vlastností 1.- 4. plyne např.:

( b + c ) . a = b . a + c. a ,

a . (λ b ) = ( a . b ) ,

o . a = ( 0 b ) . a = 0 ( b . a ) = 0.

Užijeme-li 2. a 3. vlastnost na více vektorů dostaneme:

Je-li a = e_i , b = e_j potom

a . b = e_i . e_{j .}

Odtud je vidět, že k tomu abychom definovali skalární součin pro libovolné dva vektory a, b z V_n , stačí znát skalární součin pro vektory báze e₁ , e₂ ,..., e_n .

Skalární součin jsme definovali axiomaticky, tj. byla zadána pouze abstraktní struktura, aniž známe konkrétní objekty a operace. Lze proto očekávat existenci různých modelů vektorových prostorů se skalárním součinem.

Nejznámějším modelem vektorového prostoru se skalárním součinem je vektorový prostor V₂ tzv. geometrických vektorů ( tj. orientovaných úseček s pevným počátečním bodem), ve kterém je skalární součin a . b definován jako součin délek vektorů a , b krát kosinus odchylky vektorů a , b . Tento model však zdaleka není jediný. Uvažujme např. prostor R_n všech n-tic reálných čísel a pro libovolné dva prvky a = ( a₁ , a₂ ,...,a_n ),

b = ( b₁ , b₂ ,..., b_n ) z R_n definujme

a . b = (1.1) N-tice ( a₁ , a₂ ,..., a_n , ), ( b₁ ,b₂ ,...,b_n ) lze považovat za matice typu ( l , n ). Označíme-li je po řadě A, B lze místo (1.1)

psát

a . b = ( a₁ , a₂ , ...., a_n ) . ( b₁ , b₂ , ...., b_n )^T = A . B^T,

kde B^T značí matici transponovanou k B.

Je důležité si uvědomit, že na jednom vektorovém prostoru lze definovat různé skalární součiny. Tak např. v R_n lze kromě skalárního součinu (1.1) definovat skalární součin např. takto

kde C je libovolná symetrická, pozitivně definitní matice n-tého řádu.

Pozitivně definitní matice je taková matice C, splňující vlastnost: X .C.X^T > 0 pro každou matici X = ( x₁ , x₂ ,..., x_n ) ( 0, 0, ..., 0) . Snadno se ověří, že operace (1.2) s takto definovanou maticí C je skalární součin.

Jelikož symetrických, pozitivně definitních matic n-tého řádu je nekonečně mnoho, lze usoudit, že na R_n lze definovat skalární součin nekonečně mnoha způsoby. Zvolíme-li za matici C jednotkovou matici I dostaneme skalární součin (1.1).

Příklad.

Na vektorovém prostoru R₂ je každým dvěma vektorům a = ( a₁, a₂ ), b = ( b₁, b₂ ), přiřazeno číslo

a . b = 2 a₁b₁ - a₁ b₂ - a₂ b₁ + 3a₂ b₂ . (1.3)

Ukažte, že takto definovaná operace je skalární součin.

Řešení.

Operaci (1.3) lze napsat v maticovém tvaru

a . b =

Matice je symetrická a pozitivně definitní, neboť

Rovnost nastává právě když x₁ = x₂ x₁ = 0 x₂ = 0 , tj x₁ = x₂ = 0.

Tedy operací (1.3) je definován skalární součin. Vlastnosti 1. - 4. skalárního součinu můžeme ověřit též přímo.

Ukážeme ještě jeden model vektorového prostoru se skalárním součinem, často užívaný v matematické analýze. Uvažujme vektorový prostor C_{[a, b]} všech reálných spojitých funkcí na uzavřeném intervalu [a, b]. Skalární součin na prostoru C_[a,b] lze definovat následujícím způsobem:

Pro každé dvě funkce f = f (x), g = g (x) z C_[a,b] definujme

f . g = . (1.4)

Za integrál vpravo v (1.4) lze vzít např. Riemannův integrál. Z vlastností Riemannova integrálu lze snadno odvodit vlastnosti 1.- 4. skalárního součinu.

Pomocí skalárního součinu budeme nyní definovat velikost vektoru.

Definice 1.2.

Velikostí ( normou ) vektoru a nazýváme číslo | a | = .

Cvičení.

1. Ověřte, zda zobrazení g definované na vektorovém prostoru R₂ resp. R₃ je skalární součin, platí-li pro libovolné dva vektory u = ( u₁ , u₂ ) , v = ( v₁ , v₂ ) z R₂ resp.

u = ( u₁ , u₂ ,u₃ ), v = (v₁ ,v₂ ,v₃ ) z R₃

a) g ( u , v ) = u₁ v₁ + 2u₂ v₂ ,

b) g ( u , v ) = - u ,

c) g ( u , v ) = u₁ v₁ + u₁ v₂ + u₂ v₁ + u₂ v₂ ,

d) g ( u , v ) = u₁ v₁ + 2u₂ v₂ + 3u₃ v₃ ,

e) g ( u , v ) = u₂ v₃ + u₃ v₂ .

Výsledek: a ) ano, b ) ne, c ) ne, např. ( 1, -1 ) . ( 1, -1 ) = 0, d ) ano, e ) ne.

2. Je dán vektorový prostor geometrických vektorů ( tj. orientovaných úseček s pevným počátečním bodem ) v rovině. Ukažte, že operace, která každým dvěma vektorům a , b přiřadí číslo

a . b = | a | | b | cos ,

kde je odchylka vektorů a , b je skalární součin.

2. Cauchyova nerovnost

Jsou-li dva nenulové vektory a , b kolineární, tj. existuje-li takové číslo k, že a - k b = o , můžeme koeficient k najít tak, že obě strany rovnosti o = a - k b vynásobíme skalárně vektorem b . S využitím vlastností skalárního součinu 1.- 4. dostaneme 0 = a . b - k b . b a odtud

Označme

. (2.1)

Pro kolineární vektory a , b bude vektor v ( 2.1 ) nulový. Pro nekolineární vektory a, b je vektor v nenulový. Délku vektoru v můžeme považovat za míru nekolineárnosti vektorů a , b. Čím je menší | v | , tím méně se vektory liší od kolineárních vektorů.

Zkoumejme délku | v | vektoru v :

Na levé straně je nezáporné číslo a tedy platí

což po úpravě dává

( 2.2 )

Nerovnost ( 2.2 ) se nazývá Cauchyova ( čti: kóšiova ), (A.L. Cauchy (1789-1857) - francouzský matematik). Rovnost nastane právě když je vektor v nulový, tj. právě když jsou vektory a, b lineárně závislé. Výsledek shrňme do věty:

Věta 2.1.

Pro libovolné dva vektory a , b z V_n platí

| a . b | | a | | b | ,

přičemž rovnost nastává právě když jsou vektory a , b lineárně závislé.

Nerovnost ( 2.2 ) se pro nenulové vektory a , b často píše ve tvaru

(2.2)΄

Je nutné si uvědomit, že nerovnost (2.2) platí pro jakoukoliv volbu skalárního součinu. Zadáme-li v R_n skalární součin jako v ( 1.1 ), potom platí

(2.3)

s rovností právě když a_i = kb_i , i = 1, ..., n , k = konstanta. Nerovnost ( 2.3 ) je nejčastěji užívaný tvar Cauchyovy nerovnosti. V literatuře se často mluví též o Cauchy-Schwarzově nerovnosti, protože každý z těchto význačných matematiků objevil nerovnost ( 2.2 ) ve speciálním tvaru pro určitou volbu skalárního součinu. Ve tvaru ( 2.3 ) ji uvádí A. Cauchy. (H. Schwarz (1843-1921) - německý matematik).

Nyní odvodíme důležitou trojúhelníkovou nerovnost.

Věta 2. 2. (trojúhelníková nerovnost):

Pro libovolné dva vektory a, b z V_n platí

. (2.4)

Přitom rovnost nastává právě když existuje c Î R, c 0 a je buď a = c b nebo b = c a .

Důkaz.

S využitím Cauchyovy nerovnosti ( 2.2 ) dostáváme

.

Zkoumejme nyní, kdy nastává ve (2.4 ) rovnost. Ta nastává právě když nastává rovnost v nerovnosti

, (2.5)

která je slabší než ( 2.2 ). Je-li např. a = c b , dosazením do ( 2.5 ) máme c b² | c | b² a rovnost nastává právě když c 0.

Vztah ( 2.2 )΄ nαm umožňuje definovat odchylku dvou nenulových vektorů.

Definice 2.1.

Odchylkou dvou nenulových vektorů nazýváme číslo , pro které platí

. (2.6)

Je-li , říkáme, že vektory a, b jsou na sebe kolmé (ortogonální ).

Věta 2.3 ( kosinová věta ):

Pro vektory u , v , v - u platí

. (2.7)

Důkaz.

Pro výraz na levé straně ( 2.7 ) platí

Dosazením za z definice ( 2. 1. ) dostáváme tvrzení věty ( obr. ).

Důsledek ( Pythagorova věta ):

Jsou-li vektory u , v na sebe kolmé, potom

(2.8)

Cvičení.

1. Dokažte, že pro vektory u , v Î V_n platí

.

2. Dokažte Cauchyovu nerovnost ve tvaru ( 2.3 ) přímým výpočtem. (Návod: nerovnost dokažte nejprve pro n = 2, n = 3. Analogicky postupujte pro libovolné n ).

3. Odvoďte vzorec: Pro libovolná reálná čísla x₁ , x₂ ,..., x_n platí

,

s rovností právě když x₁ = x₂ = ... = x_n .

4. Dokažte, že pro kladná reálná čísla x₁, x₂, ... , x_n platí

s rovností právě když x₁ = x₂ = ... = x_n .

3. Ortogonální a ortonormální vektory

Definice 3.1.

Říkáme, že vektory a₁, a₂ ,..., a_k vektorového prostoru V_n jsou ortogonální, jestliže platí

a_i . a_j = 0 pro všechna , i, j = l, 2, ..., k.. Vektor a se nazývá jednotkový , jestliže

| a | = 1. Vektory a₁ , a₂ ,..., a_k jsou ortonormální, jestliže jsou ortogonální a jednotkové.

V tomto případě budeme psát a_i . a_j = , kde symbol (tzv. Kroneckerovo delta) je roven nule pro ij a rovná se jedné pro i = j. (L. Kronecker (1823-1891)- německý matematik).

Důležitým pojmem je ortonormální báze vektorového prostoru.

Definice 3.2.

Říkáme, že vektory a₁ , a₂ ,..., a_n tvoří ortonormální bázi vektorového prostoru V_n, jsou-li tyto vektory lineárně nezávislé a ortonormální.

Uvedeme některé vlastnosti ortonormálních vektorů.

Věta 3.1.

Jsou-li nenulové vektory ortogonální, jsou lineárně nezávislé.

Důkaz.

Nechť jsou vektory ortogonální a nechť

. (3.1)

Vynásobíme-li obě strany této rovnosti skalárně vektorem a_j , kde j = 1, 2, ... , k, dostaneme

c_j a_j² = 0. Protože a_j je nenulový vektor, plyne odtud c_j = 0 pro všechna j = 1, 2, ..., k. Všechny koeficienty c₁ , c₂, ..., c_k v ( 3.1 ) jsou rovny nule. Vektory a₁, a₂ , ...., a_k jsou tedy podle definice lineárně nezávislé.

K tomu, abychom dokázali najít nějakou ortonormální bázi vektorového prostoru V_n tedy stačí najít n ortonormálních nenulových vektorů. To se děje procesem, kdy libovolnou bázi V_n nejprve ortogonalizujeme - tj. všechny vektory báze budou vzájemně kolmé a nakonec normujeme - tj. všechny vektory budou jednotkové. Tento proces nyní popíšeme.

Věta 3. 2. ( Gram-Schmidtův ortogonalizační proces ):

Nechť { a₁, a₂ , ..., a_n} je libovolná báze V_n . Potom existují vektory b₁ , b₂ , ..., b_n , které tvoří ortonormální bázi V_n.

Důkaz.

Položíme b₁ = a₁ . Nechť dále b₂ = a₂ + k b₁ . Zvolme k tak, aby b₁.b₂ = 0, tj. vynásobíme rovnost b₂ = a₂ + k b₁ skalárně vektorem b₁ a dostaneme Nechť dále b₃ = a₃ + r b₁ + s b₂. Vynásobením této rovnosti postupně vektory b₁ , b₂ dostaneme , .Takto postupujeme dále až získáme n ortogonálních vektorů b₁, b₂, ..., b_n . Z těchto vektorů vytvoříme normováním ortonormální bázi

Snadno se lze přesvědčit, že tyto vektory jsou ortogonální a jednotkové.

Ukažme průběh ortogonalizace na příkladu vektorového prostoru V₂ (obr):

Je-li {a₁ ,a₂ } báze V₂ položíme nejprve b₁ = a₁ . Nyní je nutné vektor b₁ vhodně vynásobit reálným číslem k tak, aby součet vektorů k b₁ a a₂ byl vektor kolmý k b₁. Jestliže je {b₁, b₂} hledaná ortogonální báze. V situaci na obrázku je přibližně k = -1/2.

Mějme dánu ortonormální bázi {a₁ , a₂ , .. .a_n} vektorového prostoru V_n a nechť pro libovolné dva vektory x , y platí

Potom pro skalární součin x . y máme

Tedy platí

x . y = x₁y₁ + x₂y₂+ ... + x_ny_n. (3.2)

Můžeme tedy shrnout:

Věta 3. 3.

Pro dva libovolné vektory x, y, které mají v nějaké ortonormální bázi souřadnice

x = ( x₁ , x₂ , ..., x_n ), y = ( y₁ , y₂ ,..., y_n ) platí (3.2).

Z předchozího tvrzení plyne, že volba ortonormální báze za bázi vektorového prostoru V_n je velmi výhodná hlavně proto, že skalární součin libovolných dvou vektorů, vyjádřených v této bázi, má jednoduchý tvar (3.2). Ve vektorovém prostoru se skalárním součinem budeme používat většinou ortonormální báze.

Cvičení.

1. Ve vektorovém prostoru V₃ mějme dánu ortonormální bázi {e₁ , e₂ , e₃ }. Nechť v této bázi je v₁ = ( 1, 1, -1 ), v₂ = ( 0, 2, 1 ), v₃ = ( -2, -1, 1 ). Určete ortonormální bázi

{u₁ ,u₂,u₃} tak, aby platilo [{ u₁ }] = [{ v₁ }], [{ u₁ ,u₂ }] = [{ v₁ , v₂ }],

[{u₁ , u₂ , u₃ } ] = [{ v₁ , v₂ , v₃ }].

Výsledek:

2. Ve vektorovém prostoru R₃ je dán skalární součin vektorů , předpisem

x . y = 2x₁ y₁ + x₁ y₂ + x₂ y₁ + x₂ y₂ + x₃ y₃ .

Určete ortonormální bázi podprostoru, který je generován vektory

a) ( 1, 0, 0 ), ( 1, 2, 0 ).

Výsledek např.

b) ( 1, 1, 0 ), ( 0, 1, 1 ), ( 1, 0, 1 ).

Výsledek např. .

3. Nechť pro vektory u , v unitárního vektorového prostoru V_n platí v některé bázi

u . v = u₁ v₁ + u₂ v₂ + ... + u_n v_{n ,}

kde u = ( u₁ , u₂ , ..., u_n ), v = ( v₁ , v₂ ,...,v_n ). Potom báze je ortonormální. Dokažte.

4. Matice přechodu mezi dvěma bázemi - ortogonální matice

Mějme ve vektorovém prostoru V_n dány dvě báze A={a₁, a₂,…, a_n}, B={b₁, b₂,…, b_n}

Potom existují jedno značně určená reálná čísla p_ij , i, j = 1 , ..., n tak, že platí:

Matici

(4. 2)

nazýváme matice přechodu od báze A={a₁, a₂,…, a_n} k bázi B={b₁, b₂,…, b_n}. Značíme .

Matice přechodu mezi dvěma ortonormálními bázemi je velmi speciální. Ukážeme, že v tomto případě platí

P.P^T = I , (4.3)

kde P^T značí matici transponovanou k matici P, I je jednotková matice.

Skutečně, podle (4.1) jest

Odtud skalárním vynásobením obou stran vektorem b_j dostáváme

Protože ale platí , dostáváme

pro pro,

což je rozepsaný vztah (4.3).

Řádky matice (4. 2) tvoří souřadnice vektorů b₁ , b₂ , ... , b_n,, vyjádřené v ortonormální bázi A={a₁, a₂,…, a_n} a pro skalární součin b_i . b_j tedy platí vzorec (3. 2). Můžeme říci, že matice P má následující vlastnost:

Skalární součin dvou různých řádků matice P je roven nule, skalární součin stejných řádků je roven jedné.

Ze vztahu (4. 3) plyne

P^-1 = P^T , (4.4)

kde P^-1značí matici inverzní k P. Ta, jak známo existuje, neboť matice P je vždy regulární.

Matice P, která má vlastnost (4. 4) se nazývá ortogonální matice. Ze (4.3) dále dostáváme

(4.5)

Předchozí úvahy shrneme do věty.

Věta 4.1.

Matice přechodu mezi dvěma ortonormálními bázemi je ortogonální. Její determinant je roven 1 nebo -1.

Poznámka. Je-li P ortonormální matice, potom det Tento vztah neplatí obráceně tj. z předpokladu det neplyne, že matice P je ortonormální.

Příklad.

Ve vektorovém prostoru R₂ jsou dány vektory w₁, w₂ pro jejichž souřadnice v ortonormální bázi U = { u₁ , u₂ } platí w₁ = ( 2, -1 )_U , w₂ = ( 2, -2 )_U . Vzhledem k jiné bázi V = { v₁, v₂ } mají vektory w₁, w₂ , souřadnice

Určete matici přechodu od báze U k bázi V a zjistěte, zda je ortonormální.

Řešení.

Jest a

Odtud

Odečtením druhé rovnosti od první dostáváme ,tj.

Matice přechodu P má tvar

Vidíme, že P je dokonce ortogonální. Ortonormální je tedy i báze

Cvičení.

1. Řešte předchozí řešený příklad pro zadání

a ) w₁ = ( 2, 3 )_U = ( -2, 3 )_V , w₂ = ( 6, -4 )_U = ( 6, 4 )_V ,

b ) w₁ = ( 6, 8 )_U = ( 10, 0 )_V , w₂ = ( 7, 1 )_U = ( 5, 5 )_V ,

c ) w₁ = ( 1, 2 )_U = ( 0, 1 )_V , w₂ = ( 3, 7 )_U = ( 2, 3 )_V .

Výsledek: a) , ortogonální,

b) , ortogonální,

c) , není ortogonální.

2. Dokažte, že matice přechodu od jedné báze k druhé bázi vektorového prostoru V_n je regulární.

3. Ukažte, že neplatí:

je ortogonální.

5. Kolmost podprostorů

Definice 5.1.

Ve vektorovém prostoru V_n uvažujeme podprostor V_k dimenze k. Množinu všech vektorů z V_n , ortogonálních ke každému vektoru z V_k nazveme ortogonální doplněk podprostoru V_k. Značíme jej .

Ukážeme, že ortogonální doplněk je vektorový podprostor dimenze n-k.

Nechť {a₁, a₂,…, a_n} je ortonormální báze V_n a {a₁, a₂,…, a_k} je ortonormální báze V_k . Libovolný vektor z je kolmý ke každému vektoru z V_k , tedy i k vektorům báze {a₁, a₂,…, a_k}. Platí:

pro všechna j = 1,2,...,k.

To znamená, že pro každý vektor jest

(5.1)

tj. vektor x lze vyjádřit pomocí lineární kombinace n - k vektorů

Obráceně: Platí-li ( 5.1 ), potom pro libovolný vektor y z V_k jest a máme

Dokázali jsme větu:

Věta 5.1.

Je-li V_k podprostor vektorového prostoru V_n , potom ortogonální doplněk vektorového prostoru V_k je vektorový prostor dimenze n - k.

Nyní zavedeme pojem kolmosti podprostorů.

Definice 5.2.

Nechť V_k je podprostor V_n . Vektor je kolmý k podprostoru V_k jestliže je kolmý ke všem vektorům z V_k. Značíme

Věta 5. 2.

Je-li vektor kolmý ke všem vektorům báze {a₁, a₂,…, a_k} podprostoru V_k, potom .

Důkaz.

Nechť pro libovolný vektor platí

Potom

Pojem kolmosti vektoru b k podprostoru V_k lze zobecnit na dva libovolné podprostory prostoru V_n . Všimněme si přitom analogie kolmosti dvou rovin.

Definice 5. 3.

Dva podprostory V_r a V_s jsou na sebe kolmé jestliže ve V_r existuje nenulový vektor kolmý k V_s , a ve V_s existuje nenulový vektor kolmý k V_r. Píšeme .

Poznámka.

O vektorových podprostorech V_k a , z nichž jeden je ortogonálním doplňkem druhého a naopak, říkáme, že jsou totálně kolmé. Prostory totálně kolmé jsou na sebe kolmé, nikoliv však naopak.

Následující věta dává nutnou a postačující podmínku pro kolmost dvou podprostorů.

Věta 5. 3.

Nechť{a₁, a₂,…, a_r}, {b₁, b₂,…, b_s}. jsou báze podprostorů V_r a V_s. Potom právě když pro hodnost h matice G

platí h < min (r, s).

Důkaz.

Nechť nejprve platí h < min ( r, s ), tj. řádky matic jsou lineárně závislé. Pro matici G to znamená, že existuje nenulové řešení soustavy rovnic

Z vlastností skalárního součinu plyne

Tedy vektor je kolmý k vektorům báze prostoru V_s tj. . Analogicky z lineární závislosti sloupců matice G plyne existence nenulového vektoru tak, že . Tedy . Obráceně, nechť nyní . Existuje tedy nenulový vektor z V_s takový, že

Dostáváme soustavu rovnic

kde alespoň jedno To znamená, že sloupce matice G jsou lineárně závislé tj. h <s. Z existence nenulového vektoru plyne lineární závislost řádků matice G, tj.

h < r.

Cvičení.

1. Ve vektorovém prostoru V₄ je dán podprostor V. Nalezněte ortogonální doplněk prostoru V, platí-li v nějaké ortonormální bázi:

a) V = [{( 2, 1, 0, 2 ), ( 0, 1, 2, 3 )}],

b) V = [{( 2, 0, 1, 0 )}],

c) V = [{( 1, 1, 0, 0 ), ( 2, 0, 0, 0 ), ( 0, 0, 0, 1)}].

Výsledek: např. a) = [{( 1, -6, 0, 2 ), ( 0, 4, 1, -2 )}],

b) = [{( 1, 1, -2, 0 ), (-1, 0, 2, 1 ), ( 0, 1, 0, 3 )}],

c) = [{( 0, 0, 1, 0 )}].

2. Ověřte, zda ve vektorovém prostoru V₄ jsou podprostory V a W na sebe kolmé, jestliže v nějaké ortonormální bázi je:

a) V = [{( 2, 1, 0, 1 ), ( 0, 1, 3, 2 )}],

W = [{( 1, 2, 1, 0 ), ( 4, 0, 2, 0 ),(1,1,1,1,)}],

b) V = [{( 1, 1, 1, 2 ), ( 0, -2, -3, 1 ), ( 4, 0, -2, 3 )}],

W = [{( 1, -3, 2, 0 ), ( 1, 4, 3, 2 )}],

c) V = [{( 6, 2, 2, 1 ), ( 3, 2, 1, 0 ), ( 4, 3, 2, 1 )}],

W = [{( -1, 1, 0, 2 ), ( 2, 2, 1, 4 ), ( 3, -1, 5, -2 )}].

Výsledek: a) nejsou na sebe kolmé,

b) na sebe kolmé,

c) na sebe kolmé.

6. Orientace vektorového prostoru

Mějme dány dvě báze A={a₁, a₂,…, a_n}, B={b₁, b₂,…, b_n} vektorového prostoru V_n a nechť značí matici přechodu od báze A k bázi B. Místo ( 4. 1 ) můžeme psát

.

Matice přechodu mezi dvěma bázemi je vždy regulární a její determinant je tedy různý od nuly. Pro matici je tedy buď det P > 0 nebo det P < 0. Bude-li det P > 0, říkáme, že báze A a B jsou souhlasné a zařadíme je do stejné skupiny. Bude-li det P < 0 budou báze A a B v různých skupinách. Snadno se ukáže, že relace "být souhlasné" na množině všech bází V_n je relací ekvivalence. Jak známo, každá ekvivalence definuje rozklad. Dvě báze patří do téže třídy, jsou-li souhlasné. Ukážeme, že třídy rozkladu jsou právě dvě.

Nechť A={a₁, a₂,…, a_n} a B={- a₁, a₂,…, a_n} jsou dvě báze V_n. Zřejmě je det . Tedy třídy jsou aspoň dvě. Nechť nyní C je libovolná jiná báze. Nepatří-li C do třídy ekvivalence obsahující bázi A jest det < 0. Zároveň jest det P Ze vzorce ( 4.2 ) plyne vztah S použitím věty o násobení determinantů dostáváme

Báze tedy patří do třídy ekvivalence obsahující B.

Definice 6.1.

Orientovaný vektorový prostor V_n je takový vektorový prostor, v němž jsme jednu ze dvou tříd bází vzhledem k ekvivalenci "být souhlasné" zvolili za třídu kladných bází.

Ukažme si dvě možné orientace trojrozměrného vektorového prostoru V₃ . Uvažujme trojici nezávislých vektorů u, v, w a umístěme je do společného bodu. Představme si na místě vektoru w pozorovatele, který se dívá na odchylku vektorů u, v.

Jestliže má pozorovatel vektor u po pravé, resp. po levé ruce, nazýváme uspořádanou trojici vektorů u, v, w pravotočivou resp. levotočivou (obr.):

Cvičení.

1. Určete zda jsou lineárně závislé či nezávislé vektory, jejichž souřadnice v kladné bázi jsou

a) ( 2, 1, 0 ), ( 0, -1, 0 ), ( 1, 1, 1 ),

b) ( 1, 0, 2, 3 ), (2, 1, 1, 4 ), ( 1, 1, -1, 1 ), ( 13, 15, 17, 0 ),

c)

V případě, že jsou vektory lineárně nezávislé, rozhodněte, zda tvoří (v daném pořadí) kladnou či zápornou bázi.

Výsledek: a) lineárně nezávislé, tvoří zápornou bázi,

b) lineárně závislé,

c) lineárně nezávislé, tvoří kladnou bázi.

7. Ortogonální doplněk - vektorový součin

V praxi se často setkáváme s úlohou, najít ortogonální doplněk n -1 vektorů ve V_n.

Definice 7.1.

Ve vektorovém prostoru V_n je dáno n -1 vektorů které mají v nějaké kladné ortonormální soustavě souřadné souřadnice . Potom se vektor, jehož souřadnice jsou algebraické doplňky posledního řádku determinantu

(7.1)

nazývá ortogonální doplněk vektorů Značíme jej

Poznámka.

Je tedy nutno rozlišovat mezi ortogonálním doplňkem podprostoru, což je vektorový podprostor a ortogonálním doplňkem vektorů, což je pevně určený vektor. Ortogonální doplněk se často zapisuje v této praktické formuli:

.

Zde jsme označili vektory kladné báze a A₁, A₂ ,..., A_n jsou algebraické doplňky prvků posledního řádku determinantu. Souřadnice ortogonálního doplňku v bázi jsou právě čísla A₁, A₂ , ....., A_n.

Nežli přistoupíme ke zkoumání vlastností ortogonálního doplňku uvedeme lemmu.

Lemma.

Nechť je dána čtvercová matice A = (a_ij ), i, j = 1, ... ,n. Algebraické doplňky prvků a_ij označme A_ij. Potom pro i, j = 1,...n platí

(7.2) Důkaz.

Lemma v podstatě říká, že součin libovolného řádku matice A s algebraickými doplňky jiného řádku, je roven nule. Zkoumejme determinant matice A´, jejíž i-tý a j-tý řádek obsahuje stejné prvky a rozviňme tento determinant podle i - tého řádku. Jest

Protože však můžeme psát

Nyní si stačí uvědomit, že determinant, jehož dva řádky jsou stejné, je roven nule. Je-li ve vztahu ( 7.2 ) i = j , dostáváme známý vztah pro rozvoj determinantu podle řádku.

Věta 7.1.

Ortogonální doplněk je kolmý k vektorům

Důkaz.

Při použití předchozího značení, můžeme v nějaké kladné ortonormální bázi psát

(7.3)

i = 1, 2, ..., n - 1.

Použiji-li nyní lemmu na determinant, který dostanu ze (7.1) napíši-li do posledního řádku A₁, A₂, ... , A_n, dostávám na pravé straně (7.3) nulu.

Ukážeme nyní další vlastnosti ortogonálního doplňku

Věta 7.2.

Pro ortogonální doplněk vektorů platí:

1) právě když jsou vektory lineárně závislé.

2)Nechť jsou vektory lineárně nezávislé. Potom je báze

{a₁, a₂,…, a_n-1, a₁xa₂x … xa_n-1} kladná.

3) Pro platí:

Tj. prohodíme-li pořadí vektorů, mění se ortogonální doplněk na opačný.

4) Pro velikost vektoru platí:

. (7.4)

Důkaz.

1) Řádky ( a_i1 ,a_i2 ,...,a_in ), i = 1, 2, ..., n - 1 matice ( 7. 1 ), které tvoří souřadnice vektorů jsou lineárně závislé právě když všechny subdeterminanty ( n-1). řádu jsou rovny nule. To jsou však až na znaménka souřadnice ortogonálního doplňku .

2. Determinant matice přechodu od kladné ortonormální báze {e₁, e₂ ,..., e_n } k bázi

{a₁, a₂,…, a_n-1, a₁xa₂x … xa_n-1} má tvar, který dostaneme ze (7.1) napíšeme-li do posledního řádku algebraické doplňky A₁ ,A₂, ...,A_n. Rozvineme-li nyní tento determinant podle posledního řádku, dostáváme hodnotu To je číslo větší než nula (podle 1. tvrzení věty), neboť vektory jsou lineárně nezávislé.

3) Tvrzení plyne ihned z vlastnosti determinantů: prohodíme -li dva řádky determinantu mění se hodnota determinantu na opačnou.

4) Označme determinant na pravé straně v (7.4) symbolem . Ve V_n lze vždy vybrat kladnou ortonormální bázi tak, aby vektory měly souřadnice

. Potom lze psát

.

Na druhé straně platí

kde A₁ ,A₂ ,...,A_n jsou algebraické doplňky posledního řádku v determinantu (7.1), v němž však je a_1n = a_2n = .. = a_n-1,n = 0. Každý algebraický doplněk A_i prvků posledního řádku (7.1) kromě A_n však obsahuje nulový sloupec a tudíž se rovná nule.

Tedy jest

Důkaz je proveden.

Poznámka.

Symetrická matice

použitá v (7.4) pro k = n - 1, se nazývá Gramova matice vektorů (též metrická nebo fundamentální matice). Det G( a₁ , a₂ ,...,a_k ) se nazývá Gramův determinant. Z tvrzení (7.4) předchozí věty plyne, že det G( a₁ , a₂ ,..., a_k ) je pro libovolné k větší nebo roven nule. (J. Gram (1850-1916) - dánský matematik).

Ve vektorovém prostoru V₃ se místo názvu ortogonální doplněk vektorů vžil název vektorový součin .

V další části se budeme zabývat tímto speciálním případem ortogonálního doplňku vektorů. Protože se vektorový součin často užívá, jeho vlastnosti shrneme zvlášť.

Definice 7.2.

Nechť jsou dány vektory jejichž souřadnice v kladné ortonormální bázi jsou

Potom vektor

(7.5)

nazýváme vektorový součin vektorů u , v.

Věta 7.3.

Nechť . Vektorový součin má tyto vlastnosti:

1)

2)

3)

4) právě když jsou vektory u, v lineárně závislé,

5) je kolmý k oběma vektorům u, v,

6) jsou-li vektory u, v lineárně nezávislé, tvoří vektory u, v, uxv kladnou bázi prostoru V₃,

7)

(7.6) tj. velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníka určeného vektory u, v (obr.).

Ještě než začneme dokazovat, je dobré si uvědomit, že vektorový součin uxv lze definovat jako vektor, jehož souřadnice jsou algebraické doplňky prvků posledního řádku determinantu

. (7.7)

Označíme-li vektory kladné ortonormální báze e₁ , e₂ , e₃ , je výhodné psát

Důkaz věty.

1) Tvrzení plyne z vlastnosti determinantů, která říká, že prohodíme-li dva řádky determinantu, změní se hodnota determinantu na opačnou.

2) Násobíme-li řádek determinantu nějakým reálným číslem mohu toto číslo vytknout před determinant. Odtud tvrzení 2.

3) Tvrzení plyne z rovnosti

4) Vektory u, v jsou lineárně závislé právě když je hodnost matice menší než dva a to nastane právě když jsou všechny subdeterminanty druhého řádu rovny nule tj.

Odtud tvrzení 4.

5) Přímým výpočtem s pomocí (7.5) dostaneme

Analogicky pro vektor v.

6) Jest

Matice přechodu P od báze k bázi má tvar

Odtud .

7) Nejprve dokážeme prvou rovnost v (7.6). Jest

K důkazu druhé rovnosti v (7.6) použijeme vztahu

.

Jest .

Věta 7 . 4 .

Pro vektory platí tzv. Lagrangeova identita (J. L. Lagrange (1736-1813) - francouzský matematik):

(7.8)

Důkaz.

Větu dokážeme použitím souřadnic. Kladnou ortonormální bázi zvolíme tak, aby Jest a tedy

,

kde vektory c , d mají souřadnice

Pro druhou stranu rovnosti (7.8) máme

Tedy levá a pravá strana v (7.8) se rovnají.

Poznámka.

Při volbě c = a, d = b v (7.8) dostaneme první rovnost v (7.6):

(7.9)

Ze (7.9) navíc získáváme druhý důkaz Cauchyovy nerovnosti, neboť odtud plyne s rovností pouze pro lineárně závislé vektory a, b.

Cvičení.

1. Dokažte, že pro libovolné vektory a, b platí

Kdy nastane rovnost?

2) Ve vektorovém prostoru V nalezněte vektor w, kolmý na dané vektory, které mají v kladné ortonormální bázi souřadnice:

a) ( 2 , -1, 6, 1 ), ( 0, 8, 2, 1 ), ( 4, -1, 3, -2 ),

b) ( 1, -1, 0 ), ( -3, 7, 1 ),

c) ( 3, 0, 2 ), ( -4, 5, 1 ),

d) ( 2, 1, 5, 3 ), ( 0, 1, 3, 7 ), ( 2, 4, 1, 5 ),

e) ( 0, 2, 1,0 ), ( 1, 1, 0, 1 ).

Výsledek a) (-125, 2, 66, -148 ), b) ( -1, -1, 4 ), c) ( -10, -11, 15) ,

d) ( -90, 68, 38, -26 ), e) ( r+s, -r, 2r, -s ), r, s Î R.

3) Jaké podmínce musí vyhovovat vektory a, b, aby vektory a + b a a - b byly kolineární?

Výsledek: a, b jsou kolineární.

4) Dokažte rovnost

.

5) Jsou dány libovolné vektory p, q, r, n. Dokažte, že vektory pxn, qxn, rxn jsou komplanární (t.j. leží v jedné rovině).

6) Vektory a, b, c vyhovují podmínce a + b + c = 0. Dokažte,

že potom platí

a x b = b x c = c x a .

7) Vektory a, b, c, d jsou vázány vztahy

Dokažte, že vektory a - d a b - c jsou kolineární.

8) Dokažte identitu

8. Vnější součin

Ve vektorovém prostoru V₃ jsme zavedli pro vektory a, b dva typy součinu. Skalární součin dvou vektorů je číslo, vektorový součin axb je vektor. Nyní zavedeme třetí typ součinu.

Definice 8. 1.

Mějme ve V_n dánu kladnou ortonormální bázi ε = {e₁, e₂, … , e_a} Nechť vektory mají v bázi souřadnice a_i = (a_i1 , a_i2, ....., a_in ), i = 1, 2, ...., n. Potom číslo det A, kde

det A = det (8.1)

nazýváme vnější součin vektorů [ a₁, a₂, ....., a_n, ].

Ukážeme, že vnější součin [a₁ , a₂ , .... a_n] nezávisí na volbě kladné ortonormální báze.

Nechť ε΄ = {e₁΄, e₂΄, … , e_n΄} je jinα kladná ortonormální báze V_n. Označme P = ( p_ij ) i, j = 1, ..., n matici přechodu od báze k bázi . Pro souřadnice () vektoru a_i

v bázi Tyto vztahy můžeme pro všechna i napsat maticově. Jest

tj.

A = A´ . P,

kde A´ je matice sestavená ze souřadnic vektorů a_i v bázi . Odtud již snadno máme

det A = det A´ . det P = det A´,

neboť pro kladné báze jest det P = 1.

Z ( 8. 1) okamžitě dostáváme jiné vyjádření vnějšího součinu [a₁ , a₂ , .... , a_n ]:

(8.2)

pomocí skalárního součinu vektoru a_n a ortogonálního doplňku

Ve V₃ má ( 8.2) tvar

(8.3)

Proto se někdy pro vnější součin užívá název smíšný součin.

Vnější součin vektorů a₁, a₂ ,. ...., a_n je číslo, které, jak jsme ukázali, nezávisí na volbě kladné ortonormální báze. Toto číslo má názorný geometrický význam. Ukažme to pro případy n = 2 a n = 3.

Nechť jsou dány vektory a, b Î V₂, jejichž souřadnice v kladné ortonormální bázi jsou

Lze psát Odtud a ze vztahu (7.6) plyne:

.

Označíme-li , lze psát

.

V₂ je obsah rovnoběžníka, který je určen vektory a, b.

Nechť jsou nyní dány tři vektory a, b, c z vektorového prostoru V₃ . Platí:

.

Označíme-li , máme

V₃ je objem rovnoběžnostěnu o podstavě velikosti V₂ a výšce v₂, který je určen vektory a, b, c (obr.):

Tento postup lze zobecnit na n vektorů a₁, a₂, ..., a_n . Z (8.2) máme

.

Označíme-li můžeme psát

(8.4)

Je přirozené toto číslo považovat za objem rovnoběžnostěnu, který je určen vektory

Î V_n . Předcházející úvahy můžeme shrnout do věty:

Věta 8.1.

Absolutní hodnota vnějšího součinu n vektorů z V_n je rovna objemu rovnoběžnostěnu, určeného vektory a₁, a₂, . . . . , a_n .

Číslo se též nazývá absolutní objem vektorů a₁, a₂ , ....., a_n . Jedná se o zobecnění pojmu velikost vektoru. Platí totiž

(8.5)

a G = 0 právě když vektory a₁ , a₂ ,.....,a_n lineárně závislé, jak plyne ze vztahu (7.4). Pro n = 1 dostaneme

Je-li dáno n lineárně nezávislých vektorů a₁ , a₂ , ...., a_n vektorového prostoru V_n , potom čtverec objemu rovnoběžnostěnu určeného těmito vektory je roven Gramovu determinantu

G (a₁, a₂, ...., a_n ).

Mějme nyní k vektorů a₁ , a₂ , ...., a_k z vektorového prostoru V_n , a ptejme se na k-rozměrný objem rovnoběžnostěnu určeného těmito vektory. Odpověď dává následující věta:

Věta 8.2.

Pro objem V_k rovnoběžnostěnu určeného vektory a₁ , a₂ , ....., a_k z vektorového prostoru V_n, kde platí

. (8.6)

Důkaz:

Označme

matici, jejíž řádky tvoří souřadnice vektorů a₁ , a₂ , ...., a_k v nějaké ortonormální bázi e₁ , e₂ , ...., e_n. Zvolme takovou ortonormální bázi vzhledem k níž mají vektory

souřadnice dané řádkovými vektory matice

.

Pro objem V_k rovnoběžnostěnu určeného vektory a₁ , a₂ , ...., a_k platí

Důsledek.

Jsou-li a₁ , a₂ , ...., a_k libovolné vektory z V_n potom

Řešení.

Nechť rovnice daných rovin v nějaké k. s.s . jsou

: ax + by + cz + d = 0, σ: ax + by + cz + e = 0. Dle pψedchozí věty bude vzdálenost rovin rovna vzdálenosti např. bodu od roviny σ.

Tj. podle (15.2),

. (16.3)

V důsledku rovnosti ax₀ + by₀ + cz₀ + d = 0 máme ax₀ + by₀ +cz₀ = -d. Dosazením do (16.3) dostáváme jednoduchý vzorec

. (16.3)΄

Zvolíme-li a, b, c tak, aby , což můžeme zařídit vždy, dostaneme pro vzdálenost rovin zvlášť jednoduchý vztah

. (16.3)΄΄

Jak známo, přímka, která má jednobodový průnik s každým ze dvou daných mimoběžných podprostorů, se nazývá příčka mimoběžných podprostorů.

Definice 16.1.

Jsou dány dva mimoběžné podprostory E_r , E_s v E_n . Příčka, která je kolmá k oběma podprostorům E_r i E_s , se nazývá osa mimoběžných podprostorů a vzdálenost jejích průsečíků s obě ma podprostory se nazývá délka osy.

Často se používá pojmu nejkratší příčka mimoběžek. V tomto případě má příčka mimoběžek význam úsečky, jejíž jeden krajní bod leží na jedné mimoběžce a druhý krajní bod na druhé mimoběžce. Nejkratší příčkou mimoběžek je pak úsečka kolmá k oběma mimoběžkám (obr.):

Příklad.

V eukleidovském prostoru E₄ určete osu mimoběžných rovin a jejich vzdálenost. V k.s.s. je

A = [4,2,0,0], u = ( l, 2, 1, - l), v = ( l, 0, -1, -1),

B = [5,2,4,-2], u΄ = (2,1,1,-1) v´ = ( 0, 3, 5, 1 ).

Řešení.

Vektory u , v, u', v' jsou lineárně závislé jak plyne diagonalizací matice souřadnic vektorů u, v, u', v'

Tedy spojení vektorových podprostorů má dimenzi tři. Protože, jak se snadno ověří, B -A [{ u , v }] v [{ u', v '}], jsou roviny mimoběžné. Určíme ortogonální doplněk vektorů ( 1, 2, 1, -1 ), ( 0, -1, -1, 0 ), ( 0, 0, 2, 1 ). Označme jej n. Jest

vychází n = ( -1, -1, 1, -2 ). Určíme průnik prostorů E = [ A, u , v , n ], σ = [ B, u ', v '].

Jest

E: X = A + t₁ u + t₂ v + t₃ n , σ :X = B + t₄ u ' + t₅ v '.

Řešíme rovnici

.

Rozepíšeme-li tuto rovnici do souřadnic, dostaneme soustavu 4 rovnic o 5ti neznámých.

Úpravou matice soustavy dostáváme

.

Vidíme, že průnikem podprostorů je jednodimenzionální podprostor, tj. přímka. Zvolme např. t₅ = -1. Odtud t₄ = -1 a pro bod A' E jest A' = B - u '- v ' tj. A' = [3,-2,-2,-2]. Osa p rovin má rovnici

p : X = A' + t n tj. [ x₁ , x₂ , x₃ , x₄ ] = [ 3, -2, -2, -2 ] + t ( -1, -1, 1, -2 ).

K tomu, abychom určili vzdálenost rovin určíme průsečík osy p s rovinou .

Je ρ: X = A + ru + sv. Řešíme rovnici

ru + sv - tn = A' - A.

Úpravou matice soustavy dostáváme

Odtud t = 1 a dosazením do rovnice osy p máme A'' = A' + n tj. A'' = [2, -3, -1, -4]. Pro délku osy dostáváme

Vzdálenost rovin je rovna .

Cvičení.

1) Určete osu mimoběžek p, q,

p : 2x - 14 = y - 3 = 18 - 2z, q: x = 3 - 7t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t.

Výsledek: x = 1+s, y = s, z = -3+4s.

2) Najděte osu roviny ρ a přímky p v E₄,

: x₁ = 1 - t - s , x₂ = t - 2s, x₃ = 2, x₄ = 2 + s,

p : x₁ = r, x₂ = 2r, x₃ = - 6 - 3r, x₄ = 5 .

Výsledek: rovina a přímka jsou různoběžné, společný bod [-8/3, -16/3, 2, 5].

3) Určete vzdálenost mimoběžek p = [ A, u ], q = [ B, v ] v E₃ , A = [ 1, 2, 0 ], u = ( 1, 1, 0 ), B = [ 0, 2, 3 ], v = ( 2, 0, 1 ).

Výsledek: A' = [-1/6, 5/6, 0 ], A'' = [ -4/3, 2, 7/3 ], |A' A'' | =

4) Určete vzdálenost dvou rovin v E₄, A = [ 1, -6, 2, -12 ], u₁ = ( 2, 2, 2, 5 ), u₂ = ( 1, 0, 0, 3 ), B = [ -9, 0, -11, -2 ], v₁ = ( 0, 4, 5, 0 ), v₂ = (1, 2, 2, 2 ).

Výsledek: d = 18.

5) Určete vzdálenost přímky p = [ A, u] a roviny v E₄ , A = [ 1, -1, - 4, 1 ], u = ( 1, 3, 5, 1 ), B = [ 3, -8, 4, -2 ], v = ( 1, 3, 0, 0 ), w = ( 1, 6, -2, -1 ).

Výsledek: d = 6.

6. Vzdálenost mimoběžek a : X = A+ta, b : X = B+ sb je dána vzorcem

.

Dokažte.

17. Odchylka podprostorů

V této části se budeme zabývat odchylkou podprostorů eukleidovského prostoru E_n. Někdy se též místo pojmu odchylka podprostorů říká úhel podprostorů. Vzhledem k následující definici budeme pracovat výhradně s vektorovými podprostory.

Definice 17.1.

Nechť E_r , E_s jsou podprostory eukleidovského prostoru E_n , a nechť vektorové prostory V_r, V_s jsou jejich zaměření. Potom odchylkou podprostorů E_r a Es rozumíme odchylku jejich zaměření V_r, V_s.

Nejprve definujeme odchylku jednorozměrných podprostorů. Vyjdeme přitom z definice 2.1. odchylky dvou vektorů. Vezmeme-li místo vektorů a, b jejich libovolné násobky ca, db , kde c,d Î R, výraz na pravé straně v (2.6) se, až na případnou změnu znaménka, nemění. Je proto účelné zavéstnásledující definici.

Definice 17.2.

Odchylkou jednorozměrných vektorových podprostorů a nazýváme číslo < 0. >, pro které

(17.1)

Tedy odchylkou dvou přímek rozumíme menší ze dvou úhlů , které mezi sebou svírají vektory ze zaměření obou přímek (obr.):

Nyní se budeme zabývat odchylkou přímky a libovolného podprostoru E_k. Nejprve budeme definovat kolmý průmět vektoru b do podprostoru V_k.

Definice 17.3.

Kolmým průmětem vektoru b do podprostoru V_k nazýváme vektor takový, že vektor je kolmý k V_k.

Zvolme ve V_k ortonormální bázi {a₁ , a₂ , ..., a_k} a pokusme se kolmý průmět b´ vektoru b do V_k vyjádřit. Nechť pro vektor b´platíOznačíme-li

b´ = b - n. (17.2)

Dosazením za b´ do (17.2) dostáváme

Vynásobíme-li obě strany této rovnosti vektorem a_i , i = 1, 2, ... , k, dostaneme

c_i = b . a_i , neboť pro i = 1, 2, ..., k. Pro vektor b´ tedy ze (17.2) plyne

Dokázali jsme větu:

Věta 17.1.

Pro kolmý průmět b´ vektoru b do podprostoru V_k určeného ortonormální bází

{a₁ , a₂ , ..., a_k} platí

(17.3)

Nyní ke slíbené odchylce.

Definice 17.4.

Nechť jsou dány podprostory V₁= a V_k vektorového prostoru V_n . Odchylkou podprostorů V₁ a V_k nazýváme odchylku vektorů b a b´, kde b΄ je kolmý průmět vektoru b do podprostoru V_k.

Ukážeme, že takto definovaná odchylka podprostorů V₁ a V_k má podobnou vlastnost jako odchylka dvou jednorozměrných podprostorů. Tuto vlastnost vyjadřuje následující věta.

Věta 17.2.

Nechť V₁ a V_k jsou podprostory V_n . Potom odchylka podprostorů V₁ a V_k je rovna nejmenší odchylce vektorů, z nichž jeden vektor je z V₁ a druhý z V_k.

Důkaz.

Předpokládejme, že kde |b| = 1, a nechť je libovolný vektor z V_k. Je-li V₁ V_k potom a odchylka je stále rovna π/2 a tvrzení věty platí.

Předpokládejme, že V₁ není kolmé na V_k . Dokážeme, že platí

(17.4)

kde b´ je kolmý průmět vektoru b do V_k.

Protože plyne odtud .

Po úpravě se nerovnost (17.4) redukuje na tvar

. (17.5)

Vynásobíme-li vztah skalárně vektorem a_i dostaneme tedy . Odtud plyne rovnost

Dosazením do (17.5) dostáváme Cauchyovu nerovnost kde rovnost nastává právě když pro vektory b´ , x platí b´= cx nebo x = cb´, kde . Dokázali jsme nerovnost (17.4) a tím i tvrzení věty, neboť (17.4) je ekvivalentní vztahu

Často je v podobných úvahách užitečná následující nerovnost.

Věta 17.3 (Besselova nerovnost):

Nechť a₁ ,a₂ ,...., a_k je ortonormální systém vektorů z vektorového prostoru V_n a nechť b je libovolný vektor z V_n . Potom

platí

(17.6) Rovnost v (17.6) nastává právě když je vektor b lineární kombinací vektorů a₁ ,a₂ ,....., a_k .

Důkaz.

Jest

Pokud se týká rovnosti, nechť . Potom a odtud Důkaz obrácené implikace je obdobný.

Poznámky.

1. Volíme-li v (17.6) k=1, dostáváme Cauchyovu nerovnost Besselova nerovnost (17.6) je tedy zobecněním Cauchyovy nerovnosti (F.W. Bessel (1784-1846), německý astronom a matematik).

2. Označíme-li b´ kolmý průmět vektoru b do podprostoru generovaného ortonormálními vektory víme, že a odtud Místo (17.6) lze tedy psát

(17.6)'

tj. velikost kolmého průmětu vektoru b do nějakého podprostoru je menší nebo rovna velikosti vektoru b. Besselova nerovnost je tedy zobecněním známé skutečnosti, že délka kolmého průmětu úsečky do roviny je menší nebo rovna délce dané úsečky.

3. Nechť je ortonormální báze vektorového prostoru V_n a nechť b je libovolný vektor z V_n. Potom v důsledku věty 17.3. platí:

kde značí odchylku vektorů Je-li vektor směrovým vektorem přímky p, potom se výrazy cos , i = 1, 2, ...,n nazývají směrové kosiny přímky p.

Snadno se počítá odchylka přímky od nadroviny. Předpokládejme, že zaměření přímky je podprostor V₁ a zaměření nadroviny je podprostor V_n-1. Ortogonální doplněk podprostru V_n-1 je jednorozměrný podprostor . Nechť a a označme b´ kolmý průmět vektoru b do V_n-1. Předpokládejme, že . Pro vektory podle (2.7) Pythagorova věta

(17.7)

Dále jest

Dosazením do (17.7) dostaneme

a odtud . Dokázali jsme větu:

Věta 17.4.

Nechť jsou V₁ a V_n-1 dva podprostory prostoru V_n a nechť je podprostor kolmý na V_n-1 . Označíme-li odchylku V₁ a V_n-1 , potom platí

(17.8)

Příklad.

Určete odchylku přímky p a roviny v E₃ , jestliže , kde ,

Řešení.

1.způsob: Nejprve určíme odchylku ψ přímky p a normály roviny ρ. Za normálový vektor roviny ρ vezmeme vektorový součin vxw = ( 0,-1,-1 ). Dále

Tedy . Podle předchozí věty je odchylka přímky p a roviny rovna .

2. způsob: Odchylku přímky p a roviny určíme jako odchylku vektoru u přímky p a jeho kolmého průmětu do zaměření roviny .

Pomocí Gram-Schmidtova procesu vektory v, w nejprve ortogonalizujeme. Položme w´= w = ( 1, 0, 0 ), v´ = v + kw. Po vynásobení posledního vztahu vektorem w´ dostaneme k= -1, tedy v´ = v - w = (0,1,-1). Vektory w´, v΄ normujeme a máme . Pro kolmý průmět u´ vektoru u platí přičemž , Po dosazení vychází Pro odchylku platí .

Odtud .

Poznámka.

Ve druhém způsobu řešení předchozího příkladu jsme použili kolmého průmětu vektoru ze zaměření přímky p do zaměření roviny . Odchylka přímky p a roviny ρ je pak rovna odchylce vektoru ze zaměření přímky p a jeho kolmého průmětu. Často se hovoří o kolmém průmětu p΄ přímky p do roviny . To je přímka ležící v rovině , která je dána kolmým průmětem jednoho svého bodu a kolmým průmětem některého vektoru ze svého zaměření. Množinou všech kolmých průmětů bodů přímky p do roviny je právě přímka p΄. Odchylka přímky p a roviny ρ je potom rovna odchylce přímky p a jejího kolmého průmětu p΄ do roviny.

Nyní uvedeme větu, která udává vztah mezi odchylkou vektorových podprostorů V₁ a V_n-1 a odchylkou jejich ortogonálních doplňků.

Věta 17.5.

Nechť V₁ a V_n-1 jsou podprostory vektorového prostoru V_n a nechť jsou po řadě jejich ortogonální doplňky. Potom odchylka podprostorů V₁ a V_n-1 je rovna odchylce podprostorů .

Důkaz.

Označme odchylky podprostorů V₁ a V_n-1, , po řadě . Potom platí podle (17.8)

odtud

Odchylku dvou libovolných podprostorů vektorového prostoru V_n uvádět nebudeme. Její zavedení je trochu složitější, a navíc je známo několik možností, jak odchylku definovat. Ačkoliv jsou tyto definice různé, všechny musí splývat v případech n = 1, 2, 3. Dále je přirozené požadovat, aby se odchylka podprostorů V_r a V_s rovnala odchylce jejich ortogonálních doplňků .

Na závěr proto definujme odchylku dvou nadrovin, která v sobě zahrnuje poslední reálný, dosud nezahrnutý případ, odchylku dvou rovin v E₃.

Definice 17.5.

Nechť V_n-1 a V'_n-1 jsou podprostory vektorového prostoru V_n. Odchylkou podprostorů V_n-1 a V'_n-1 rozumíme odchylku jejich ortogonálních doplňků .

Poslední definice využijeme ke stanovení odchylky dvou rovin v E₃.

Příklad.

Určete odchylku rovin v E₃.

Řešení.

a) Je-li v k.s.s. ρ: a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0, σ : a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0,

potom

.

b) Jestliže potom

.

Cvičení.

1) Určete odchylku rovin ,

A = [ 1,2,3 ], u = ( 0,2,-1 ), v = ( 1,-1, 0 ),

B = [ -1,0,1 ], w = ( 1,0,-2 ), z = ( 0,1,1 ).

Výsledek: .

2) Přímkou p proložte rovinu , která svírá s osou y úhel

p: x = -3 -3t, y = 4 + t, z = -2 + t.

Výsledek: y - z - 6 = 0, 3x + 5y + 4z - 3 = 0.

3) Určete odchylku φ přímky p a roviny ,

p: x + y + 3z = 0, : 2x + y + z + 1 = 0.

x - y - z = 0,

Výsledek: .

4) Najděte pravoúhlý průmět přímky p do roviny ,

p: x = 4t, : x - y + 3z + 2 = 0.

y = 4 + 3t,

z = -1 - 2t,

Výsledek: x = - 4 - 7s, y = 1 - 4s, z = 1 + s.

5) Určete rovnici roviny ρ, procházející body A, B, kolmé k rovině σ,

Výsledek: 10 x - 6y - z - 2 = 0.

6) Průsečíkem přímky p s rovinou ρ veďte přímku kolmou k rovině σ:

p: x = 12 + 4t, : 3x + 5y - z - 2 = 0, σ: x - y + 6z - 2 = 0.

y = 9 + 3t,

z = 1 + t,

Výsledek: x = s , y = -s, z = - 2 + 6s.

Doporučená literatura:

Burian K., Analytická geometrie, Ostrava 1974.

Bydžovský B., Úvod do analytické geometrie, Praha 1956.

Coxeter H.S.M., Introduction to geometry, New York 1969.

Čech E., Základy analytické geometrie I, Praha 1956.

Gantmacher F.R., Teorija matric, Moskva 1953.

Kadleček J., Troják J., Geometrie II, Praha 1986.

Koubek L., Úvod do analytické geometrie a algebry, Praha 1965.

Kraemer E., Analytická geometrie lineárních útvarů, Praha 1954.

Kuroš A.G., Kurs vysšej algebry, Moskva 1975.

Peschl E., Analytische Geometrie and lineare Algebra, Mannheim 1961.

Pogorelov A.V., Geometrija, Moskva 1984.

Rozenfeld B.A., Mnogomernaja geometrija, Nauka, Moskva 1966.

Sekanina M. a kol., Geometrie I, Praha 1986.

Strobl J., Analytická geometrie, Č.Budějovice 1974.

Vančura Z., Analytická metoda v geometrii I,II, Praha 1957.