1. Sestrojte elipsu, jsou-li dány hlavní vrcholy A, B a bod M elipsy.
2. Z bodu R veďte tečny k elipse.
3. K elipse veďte tečny daným směrem s.
4. Do trojúhelníku PQR vepište elipsu tak, aby daný bod F₁ byl jejím ohniskem.
5. Sestrojte elipsu, je-li dáno: a) hlavní vrchol A, vedlejší vrchol C, délka hlavní poloosy a

7. Sestrojte hyperbolu, je-li dáno a) ohnisko F₁, asymptota m, směr s druhé asymptoty b) ohniska F₁, F₂, tečna t c)ohniska F₁, F₂, bod M hyperboly d) hlavní vrcholy A,B, tečna t e) ohnisko F₁, tečna t s bodem dotyku T, směr s hlavní osy f) ohnisko F₁, asymptota m, délka hlavní poloosy a g) ohnisko F₁, asymptota m, tečna t h) střed S, asymptota m, tečna t, délka hlavní poloosy a i) ohnisko F₁, tečna t₁ s bodem dotyku T₁, další tečna t₂ j) ohnisko F₁, body M₁, M₂ hyperboly, délka hlavní poloosy a k) ohnisko F₁, tečny t₁, t₂, délka hlavní poloosy a.
8. Sestrojte rovnoosou hyperbolu, je-li dán střed S, tečna t, délka hlavní poloosy a.
9. K hyperbole veďte tečny, které svírají s hlavní osou úhel 75^o.
10. Z bodu R veďte tečny k parabole.
11. K parabole veďte tečny daným směrem s.
12. Sestrojte parabolu, je-li dáno: a) osa o, bod M paraboly, parametr p b) vrchol V, tečna t s bodem dotyku T c) vrcholová tečna v, bod M paraboly, parametr p d) osa o, vrchol V, bod M paraboly e) osa o, ohnisko F, tečna t f ) osa o, tečna t s bodem dotyku T g) ohnisko F, tečny t₁, t₂ h) vrcholová tečna v, tečny t₁, t₂ i) ohnisko F, body M₁, M₂ paraboly j) ohnisko F, tečna t, bod M paraboly k) vrcholová tečna v, tečna t s bodem dotyku T l) řídící přímka d, tečny t₁, t₂ m) řídící přímka d, tečna t, bod M paraboly n) tečny t₁, t₂ a jejich body dotyku T₁, T₂.
13. Z bodu P na řídící přímce d veďte tečny k parabole. Dokažte, že tečny jsou vzájemně kolmé.

Analytická geometrie

1. Jestliže souřadnice bodu X=[x,y] splňují rovnici xy = 1, jakou rovnici splňují jeho nové souřadnice x´, y´, když nová kartézská soustava souřadnic (k.s.s.) vznikla z původní otočením o 45^o?
2. Napište transformační rovnice pro souřadnice téhož bodu X při přechodu od jedné k.s.s. k druhé k.s.s., která vznikne z první otočením o úhel 30^o.
3. Napište rovnici kružnice, která se dotýká os souřadnic a prochází bodem M=[-8,1].
4. Je dán trojúhelník ABC svými vrcholy A=[4,-1], B=[-1,-1], C=[1,3]. Napište rovnici kružnice trojúhelníku opsané.
5. Napište rovnici kružnice vepsané trojúhelníku A=[2,-3], B=[16,15/2], C=[-2,0].
6. Určete průsečíky kuželosečky x²-2xy-3y²-4x-6y+3=0 s přímkou a) 5x-y-5=0,

b) x+2y+2=0, c) x+4y-1=0, d) x-3y=0.

7. Určete průsečíky přímek, procházejících počátkem, s kuželosečkou

x² + 2xy+2y²+2x+2y+1=0.

8. Najděte průsečíky přímky x=p s kuželosečkou x² –2xy+2x+3y-5=0.
9. Jaká je vzájemná poloha přímky x+y+1=0 a kuželosečky x² –y²+3x+y+2=0?

10. Napište kanonický tvar kuželosečky a) x²+2y²-6x+8y+1=0, b) 3x²-2y²-2x-5y+5=0,

12. Pro které p má kuželosečka x²+2pxy+y²-3=0 právě jeden asymptotický směr?
13. Napište rovnici kuželosečky, která má směry os x a y za své asymptotické směry.
14. Určete singulární body kuželosečky x²-y²+3x+y+2=0. Situaci nakreslete.
15. Určete f tak, aby kuželosečka 2x²+2xy+y²+4y+f=0 měla singulární bod.
16. Najděte všechny singulární body kuželosečky x²+2xy+2y²+2x+2y+1=0.
17. Napište rovnici kuželosečky, která má počátek za svůj singulární bod.
18. Je dána kuželosečka p(x²+y²)+(1+p²)xy+(1+p)(x+y)+1=0. Ukažte, že pro každé p je kuželosečka singulární a určete, o jakou kuželosečku se pro jednotlivá p jedná.
19. Ukažte, že kuželosečka y²-xy-5x+7y+10=0 je singulární a určete o jakou kuželosečku se jedná.
20. Ze kterých přímek se skládá kuželosečka a) 21x²+xy-10y²=0, b) x²+2xy+y²+2x+2y-4=0?
21. Určete a tak, aby kuželosečka x²+2ay²-x+y=0 byla singulární. Jaká je to kuželosečka?
22. Určete p, q tak, aby kuželosečka x²+2pxy+y²+2x+2qy-3=0 byla dvojicí rovnoběžných přímek. Napište jejich rovnice.
23. Určete tečnu kuželosečky x²-y²=25 v jejím bodě [13,12].
24. Určete tečnu kuželosečky y=x² v jejím bodě [1,1].
25. Které přímky, procházející počátkem, mají s kuželosečkou x²+4xy+4y²+2y=0 právě jeden společný bod? Určete střed této kuželosečky.
26. Napište rovnici tečny kuželosečky 5x²+2xy+y²-5=0, procházející bodem R=[1,0].
27. Napište rovnici tečny kuželosečky 3x²+4xy+5y²-7x-8y-3=0, vedené jejím bodem T=[?,1].
28. Určete tečny kuželosečky x²+2xy-y²+6x=0 v jejích průsečících s osou x.
29. Napište rovnici regulární kuželosečky, která se dotýká osy x v počátku soustavy souřadnic.
30. Bodem R=[3,4] veďte tečny ke kuželosečce 2x² –4xy+y²-2x+6y-3=0.
31. Napište rovnice tečen, příp. asymptot, vedených bodem R=[2,4] ke kuželosečce

x²-2xy+2x+4y-5=0.

32. Určete tečny, příp. asymptoty vedené bodem R=[0,1] ke kuželosečce

3x²+4xy+5y²-6x-8y-3=0.

33. Počátkem veďte tečny a asymptoty ke kuželosečce x²-4xy-y²+4x+1=0. U tečen stanovte bod dotyku.
34. U kuželosečky x²-2xy+2x+4y-5=0 určete asymptoty jako přímky, které mají asymptotický směr a danou regulární kuželosečku neprotínají.
35. Bodem R=[0,2] veďte tečny a asymptoty ke kuželosečce xy-x²-1=0.
36. Určete rovnici kuželosečky tak, aby měla osy x a y za své asymptoty.
37. Určete průměr sdružený se směrem osy y vzhledem ke kuželosečce x²+2xy+2y²+2x+2y+1=0.
38. Určete tečny kuželosečky x²+xy+y²+2x+3y-3=0 rovnoběžné s přímkou 3x+3y-7=0 a jejich body dotyku.
39. Pro který nenulový vektor u=(u,v) je průměr sdružený se směrem vektoru u vzhledem ke kuželosečce x²-2xy+2y²-1=0 rovnoběžný s vektorem (1,1)?
40. Ukažte, že osa y je průměrem kuželosečky 2x²+2xy-y²+2x-2y=0. Jaká je rovnice průměru k němu sdruženého?
41. Stanovte takovou dvojici sdružených průměrů kuželosečky 2x²+5xy-3y²+3x+16=0, z nichž je jeden rovnoběžný se směrem osy x.
42. Určete v předcházejícím příkladě tečny dané kuželosečky rovnoběžné s osou x.
43. Ukažte, že kuželosečka x²-4xy-y²+4x+1=0 je regulární a napište rovnici průměru sdruženého se směrem přímky x-2y=0. Veďte ke kuželosečce tečny rovnoběžné s touto přímkou.
44. Napište rovnice tečen kuželosečky y²-10x-2y=0, rovnoběžných s přímkou y=x.
45. Určete druh těchto kuželoseček: a) y²-10x-2y=0, b) x²-y²-4x+6y-6=0,

c) x²-4xy-y²+4x+1=0, d) x²+2xy+2y²+2x-2y+6=0, e) 3x²-2xy+3y²+4x+4y-4=0.

46. Určete v předcházejícím příkladě střed kuželosečky.
47. U kuželoseček z příkladu 45. určete průměr sdružený se směrem osy x (není-li ovšem tento směr směrem asymptotickým).
48. Napište rovnici regulární kuželosečky, která prochází počátkem a směry os x a y jsou jejími sdruženými směry.
49. Napište rovnice těch kuželoseček z příkladu 48., které zároveň procházejí body [1,0], [0,1]. Kdy je kuželosečka elipsou, kdy hyperbolou, kdy parabolou?
50. Určete druh kuželosečky a) 2x²+4xy+5y²-6x-8y-100=0, b) x²-12xy-4y²+12x+6y+5=0.
51. Ukažte, že rovnicí 2y²+2x-4y+1=0 je dána parabola, určete její parametr p.
52. Určete osy a vrcholy kuželosečky a) 3y²+4xy+4x-4y-8=0, b) 4x²-4xy+y²-28x+4y+44=0,

c) 2x²+4xy+5y²-6x=0, d) 2y²+2x-4y+1=0, e) x²-12xy-4y²+5=0.

53. Určete osy, vrcholy a tečny ve vrcholech kuželosečky x²-2xy+y²+2x-6y=0.
54. Určete osy kuželosečky x²+y²+6x+8y=0.
55. Je dána kuželosečka x²+y²+2bxy+2x+2y+2=0. Jaká je to kuželosečka? Proveďte diskusi vzhledem k parametru b. V případě regulární kuželosečky určete její osy.
56. Určete rovnici kuželosečky, jestliže je osa x její osou a počátek jejím vrcholem.
57. Napište rovnici kuželosečky, která má přímky x+y=0 a x-y=0 za své osy.
58. Napište rovnici paraboly, která má přímku x-y=0 za svou osu.
59. Najděte střed a poloměr kulové ploxhy opsané čtyřstěnu ABCD, A=[0,0,0], B=[2,0,0], C=[0,5,0], D=[0,0,3].
60. Napište rovnici kulové plochy, která prochází bodem A=[0,-3,1] a protíná rovinu z=0 v kružnici x²+y²=16.
61. Najděte rovnici rotační kuželové plochy o vrcholu V=[0,0,3], která obsahuje kružnici x²+y²=4.
62. Najděte rovnici kuželové plochy, určené vrcholem V=[0,0,5] a kuželosečkou k :

a) V=[0,0,5], k : 9x²-4y²-36=0, z=0, b) V=[1,-3,-2], k : 6x²+4y²-12x+24y+30=0, z=0.

63. Určete rovnici kuželové plochy o vrcholu V=[3,0,5],jejíž povrchové přímky svírají s rovinou z=0 úhel j =p /4.
64. Napište rovnici kvadriky, která prochází bodem A=[2,0,-1], má střed S=[0,0,-1] a protíná rovinu z=0 v kuželosečce x²-4xy-1=0.

Analytická geometrie

1. x´²-y´²=2 nebo x´²-y´²=-2
2. 2x=x´√3-y´, 2y=x´+y´√3 nebo 2x=x´√3+y´, 2y=-x´+y´√3
3. x²+y²+26x-26y+169=0, x²+y²+10x-10y+25=0
4. 2x²+2y²-6x-y-11=0
5. S=[2,-1/2], r =2, 4x²+4y²-16x+4y+1=0
6. a) [1,0], [1/2,, -5/2] b) žádné c) [1,0] d) [1/2, 1/6]
7. přímka y=kx protíná kuželosečku pro 0<k £ 4 v bodech [t, kt], kde t²(1-2k-2k²)+

+2(1+k)t+1=0, pro ostatní k přímka kuželosečku neprotíná

8. pro 2p≠3 [p, (p²+2p-5)/(2p-3)], pro p=3/2 přímka kuželosečku neprotíná
9. přímka je částí kuželosečky
10. a) elipsa (x-3)²/16+(y+2)²/8=1 b) hyperbola (x-1/3)²/(5/72)-(y+5/4)²/(5/48)=1 c) parabola

(x-1/3)²= -5/3 (y-57/45), parametr p=5/6

11. a) u₁=(2+√2, 2), u₂=(2-√2) b) v₁=(3,1), v₂=(1,-1)
12. pro p=1 směr (1,-1), pro p=-1 směr (1,1)
13. 2bxy+2dx+2ey+f=0
14. [-3/2, 1/2]
15. f=8
16. všechny body přímky x+y+1=0
17. ax²+2bxy+cy²=0
18. velký determinant Δ=0 pro všechna pÎ R, pro p≠-1, p≠1 se kuželosečka skládá ze dvou různoběžek x+py+1=0, px+y+1=0, pro p=-1 se jedná o dvě rovnoběžky x-y+1=0, x-y-1=0

pro p=1 dostaneme jednu dvojnásobnou přímku o rovnici x+y+1=0

19. různoběžky y+5=0, x-y-2=0
20. a) 3x-2y=0, 7x+5y=0 b) rovnoběžky x+y+1+√5=0, x+y+1-√5=0
21. a= -1/2, kuželosečka se skládá z různoběžek x-y=0, x+y-1=0
22. pro p=q=1 rovnoběžky x+y-1=0, x+y+3=0, pro p=q=-1 rovnoběžky x-y-1=0, x-y+3=0
23. 13x-12y-25=0
24. 2x-y-1=0
25. y=0, x+2y=0, kuželosečka nemá střed
26. 5x+y-5=0
27. pro T₁=[-1,1] tečna t₁: 9x+2y+7=0, pro T₂=[2,1] tečna t₂: 9x+10y-28=0
28. x=0, x+2y+6=0
29. ax²+2bxy+cy²+2ey=0, ae≠0,
30. 7x-2y-13=0, x-3=0
31. tečna x-3y+10=0, asymptota x-2=0
32. neexistují
33. tečny t₁: x+y=0, t₂:3x+y=0, body dotyku T₁=[-1/2,1/2], T₂=[-1/2,3/2]
34. x-2=0, x-2y+4=0
35. tečna y=2 s bodem dotyku [1,2], asymptota x=0
36. 2bxy+f=0, bf≠0
37. x+2y+1=0

 

 

38. tečny t₁: x+y-1=0, t₂: 3x+3y+13=0 s body dotyku T₁=[1,0], T₂=[-5/3,-8/3]
39. např. u=(1,0)
40. x-y-1=0
41. 4x+5y+3=0, y=1
42. y=1±(2/7)√10
43. 5y-4=0, tečny neexistují
44. 5x-5y+18=0
45. a) parabola b) hyperbola c) hyperbola d) množina prázdná (imaginární elipsa) e) elipsa
46. a) neexistuje b)[2,3] c) [-2/5,4/5] d) každý bod e) [-1,-1]
47. a) směr osy x je asymptotický b) x-2=0 c) x-2y+2=0 e) 3x-y+2=0
48. ax²+cy²+2dx+2ey=0, cd²+ae²≠0
49. a) dx(x-1)+ey(y-1)=0, ed(e+d)≠0 b) ed >0 elipsa, ed<0 hyperbola, parabolou být nemůže
50. a) elipsa b) hyperbola
51. p=1/2
52. a) hyperbola, osy 2x-y-6=0, 2x+4y-1=0, vrcholy [(5√5±1)/2√5, (-√5±1)/√5] b) parabola, osa 2x-y-6=0, vrchol [14/5, -2/5] c) elipsa, osy 2x+4y-1=0, 2x-y-6=0, vrcholy [2,-2], [3,0],

[(5±2√6)/2, -(2±Ö 6))/2] d) parabola, osa y=1,vrchol [1/2,1] e) hyperbola, osy 2x+3y=0,

-3x+2y=0, vrcholy [± Ö (5/26), ± (3/2)Ö (5/26)]

53. parabola, osa x-y+2=0, vrchol V=[-2,0], vrcholová tečna x+y+2=0
54. kružnice, osou je každá přímka procházející středem S=[-3,-4]
55. b=0 bod, b=-1 parabola, b=1 množina prázdná (imaginární rovnoběžky), 0<b<1 množina prázdná (imaginární elipsa), -1<b<0 elipsa, b²>1 hyperbola, osy (b+1)(x+y)+2=0, x-y=0, v případě paraboly je osou pouze přímka x-y=0
56. y²=2px+qx², p≠0
57. a(x²+y²)+2bxy+f=0, f(a²-b²)¹ 0
58. a(x-y)²+2d(x+y)+f=0, ad¹ 0
59. S=[1,5/2,3/2], r=Ö 38/2
60. x²+y²+z²+6z-16=0
61. 9x²+9y²-4z²+24z-36=0
62. a) –225x²+100y²+36z²-360z+900=0 b) 6x²+4y²-3z²-12x+24y-12z+30=0
63. x²+y²-z²-6x+10z-16=0
64. x²-4xy+3z²+6z-1=0.